Дисперсионные соотношения гравитационных волн описывают взаимосвязь между частотой волны и её волновым числом, что напрямую определяет скорость распространения, фазовую скорость и групповую скорость волн. В рамках общей теории относительности (ОТО) гравитационные волны в вакууме являются решениями линейных возмущений метрики и подчиняются простому дисперсионному закону для волн в пустом пространстве:
ω = c k,
где ω — угловая частота волны, k = |k⃗| — модуль волнового вектора, а c — скорость света. Это соотношение демонстрирует, что в ОТО гравитационные волны в вакууме распространяются без дисперсии: фазовая скорость $v_{\rm ph} = \omega/k$ и групповая скорость $v_{\rm gr} = d\omega/dk$ совпадают и равны c.
В модифицированных теориях гравитации, таких как f(R)-гравитация или скалярно-тензорные модели, гравитационные волны могут приобретать эффективную массу, что приводит к дисперсии. В простейшей модели массивной гравитации дисперсионное соотношение приобретает вид:
ω2 = c2k2 + mg2c4/ℏ2,
где mg — эффективная масса гравитона. Здесь фазовая скорость
$$ v_{\rm ph} = \frac{\omega}{k} = c \sqrt{1 + \frac{m_g^2 c^2}{\hbar^2 k^2}} $$
и групповая скорость
$$ v_{\rm gr} = \frac{d\omega}{dk} = \frac{c^2 k}{\sqrt{c^2 k^2 + m_g^2 c^4/\hbar^2}} < c, $$
что указывает на подсветовую скорость распространения групповой энергии и на наличие дисперсии. Для mg → 0 мы возвращаемся к классическому случаю ОТО.
При распространении гравитационных волн через космологическое пространство-время с метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛRW) или в присутствии анизотропных материалов, дисперсионное соотношение усложняется. В рамках линейной аппроксимации для маленьких возмущений метрики δgμν в пространстве с космологической константой Λ и кривизной k оно записывается как:
ω2 = c2k2 + αH2 + βΛ,
где H — параметр Хаббла, а α и β — коэффициенты, зависящие от конкретной модели. В таких случаях фазовая скорость зависит от масштаба волны и времени, а групповая скорость может быть меньше скорости света, особенно для длинноволновых мод.
Дисперсионные эффекты проявляются в виде временных задержек и деформаций формы гравитационных сигналов, что особенно важно при анализе сигналов от слияний компактных объектов (чёрные дыры, нейтронные звёзды). Если учитывать возможную массу гравитона, различие во времени прихода длинноволновой и коротковолновой составляющих может быть использовано для установки строгих ограничений на mg.
Для наблюдательных детекторов, таких как LIGO, Virgo и KAGRA, дисперсионные эффекты проявляются в фазовой модуляции сигнала. Сравнение теоретических форм волны с наблюдаемыми позволяет не только тестировать ОТО, но и проверять модифицированные теории гравитации.
В реальных астрофизических сценариях нелинейность гравитационного поля может вносить дополнительные поправки в дисперсионное соотношение. Эти поправки зависят от интенсивности гравитационного поля источника и могут проявляться через взаимодействие с фоновым космологическим полем или через самовзаимодействие волн. Вплоть до второго порядка возмущений для слабых волн можно записать приближённое нелинейное дисперсионное соотношение:
$$ \omega^2 = c^2 k^2 \left(1 + \epsilon \frac{k^2}{k_0^2}\right), $$
где ϵ ≪ 1 — параметр нелинейности, а k0 — характерное волновое число источника. Такой тип дисперсии приводит к явлениям самофокусировки и модуляционной нестабильности волн.