Дополнительные измерения и гравитационные волны

Современные модели физики высоких энергий, такие как теория струн и модели Брана-Ворлд, предполагают существование пространственных измерений, выходящих за пределы привычных трёх. В этих моделях гравитация является уникальным взаимодействием, способным проникать в дополнительные измерения, в то время как стандартные модели частиц остаются «закреплёнными» на 3+1 мерной бране.

Дополнительные измерения могут быть компактными (с малым характерным размером R ≪ 1 мм) или некомпактными. В компактных измерениях гравитация проявляет себя на малых расстояниях через поправки к закону Ньютона:

$$ V(r) \sim \frac{G m_1 m_2}{r} \left(1 + \alpha e^{-r/R} \right), $$

где α — коэффициент, зависящий от конкретной модели, а R — радиус дополнительного измерения. Такие поправки могут влиять на генерацию и распространение гравитационных волн, особенно на коротких длинах волн.

---

Гравитационные волны в пространствах с дополнительными измерениями

В стандартной четырёхмерной общей теории относительности (ОТО) гравитационные волны (ГВ) описываются волновым уравнением для малых возмущений метрики h_μν на фоне метрики η_μν:

□h_μν = 0,  ∂^μh_μν = 0,  h_μ^μ = 0.

При добавлении n дополнительных измерений форма уравнения меняется. Рассмотрим пространство 4 + n размерностей. Малые возмущения метрики H_AB (где индексы A, B = 0, 1, 2, 3, …, 3 + n) подчиняются волновому уравнению:

□_(4 + n)H_AB = 0.

Разложение на моды Калуцы-Клейна приводит к спектру масс {m_k} для гравитационных волн в стандартных четырёх измерениях:

H_μν(x^α, yⁱ) = ∑_kh_μν^(k)(x^α) ψ_k(yⁱ),  (□₄ − m_k²)h_μν^(k) = 0,

где yⁱ — координаты дополнительных измерений, ψ_k — собственные функции компактного пространства, а m_k ∼ 1/R — массы Калуцы-Клейна.

Ключевой момент: нулевая мода m₀ = 0 описывает стандартные бесмассовые гравитационные волны, в то время как массивные моды m_k > 0 могут быть обнаружены как дополнительные поляризации или как сигналы с дисперсией.

---

Дисперсия и скорость распространения гравитационных волн

В четырёхмерной ОТО скорость ГВ равна скорости света c. В моделях с дополнительными измерениями массивные моды Калуцы-Клейна обладают дисперсией:

ω_k² = k² + m_k².

Следовательно, группа волн v_g = ∂ω/∂k = k/ω меньше c для m_k ≠ 0. Это открывает возможность экспериментального тестирования дополнительных измерений через задержку прихода гравитационных волн от астрофизических источников (например, слияний чёрных дыр и нейтронных звёзд).

---

Поляризация гравитационных волн в пространствах с дополнительными измерениями

В стандартной 4D ОТО существуют два поперечных поляризационных состояния (+, ×). В расширенных пространствах число возможных поляризаций увеличивается:

• Для n = 1 дополнительных измерений появляется скалярная поляризация, связанная с возбуждением размерности по Калуцы-Клейну.
• Для n ≥ 2 возникают векторные поляризации, которые могут проявляться как продольные колебания метрики на бране.

Таким образом, обнаружение необычных поляризаций ГВ может быть прямым сигналом существования дополнительных измерений.

---

Генерация гравитационных волн в многомерных моделях

Генерация ГВ тесно связана с динамикой источника. В 4D ОТО мощность излучения по формуле квадруполя:

$$ P = \frac{G}{5} \langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij} \rangle. $$

В многомерной модели мощность излучения модифицируется:

$$ P_{4+n} \sim G_{4+n} \langle \dddot{Q}_{AB} \dddot{Q}^{AB} \rangle, $$

где G_4 + n — гравитационная константа в 4 + n измерениях. Для малых радиусов R дополнительного измерения мощность рассеивания в массивные моды может быть незначительной, но для высокоэнергетических процессов (планковские или космологические условия) это становится существенным.

Примеры источников:

1. Слияние чёрных дыр и нейтронных звёзд с возможной утечкой энергии в дополнительные измерения.
2. Космологические фазовые переходы в ранней Вселенной, приводящие к генерации стохастического фона ГВ с массами Калуцы-Клейна.
3. Струнные объекты (например, космические струны), способные возбуждать как стандартные, так и дополнительные поляризации.

---

Стохастический фон гравитационных волн и дополнительные измерения

Стохастический фон ГВ определяется спектральной плотностью Ω_GW(f). В многомерных моделях спектр дополняется вкладом массивных мод Калуцы-Клейна:

Ω_GW(f) = Ω₀(f) + ∑_kΩ_k(f),  Ω_k(f) ∝ Θ(f − f_k),

где f_k = m_k/(2π) — пороговая частота для возбуждения моды k. Такой вклад может быть зарегистрирован при наблюдениях с высокочувствительными детекторами (LIGO, Virgo, LISA), особенно в диапазоне высоких частот, где стандартная спектральная плотность мала.

---

Экспериментальные ограничения на дополнительные измерения через гравитационные волны

Современные наблюдения накладывают строгие ограничения:

• Отсутствие дисперсии нулевой моды на расстояниях сотен мегапарсек ограничивает R ≲ 10⁻⁴ м для одномерного компактного измерения.
• Отсутствие аномальных поляризаций в LIGO/Virgo ограничивает энергию, уходящую в массивные моды, до  ≲ 10% от общей мощности источника.
• Космологические данные (CMB, нуклеосинтез) ограничивают вклад дополнительных измерений в раннюю Вселенную, следовательно, ограничивают интенсивность стохастического фона ГВ.

Эти результаты демонстрируют, что гравитационные волны являются уникальным инструментом тестирования гипотез о многомерной структуре пространства.