Энергия и импульс гравитационных волн

Гравитационные волны (ГВ), являясь возмущениями метрики пространства-времени, переносят энергию и импульс, что делает их физически значимыми не только как решения линейного приближения Общей теории относительности (ОТО), но и как реальные носители динамических эффектов в астрономических процессах. Рассмотрим детально механизмы формирования, выражения и интерпретации энергии и импульса ГВ.

1. Слабополевое приближение и квадратичные члены

Для описания энергии и импульса гравитационных волн удобно использовать слабополевое приближение:

gμν = ημν + hμν,  |hμν| ≪ 1

где ημν — метрика Минковского, hμν — малое возмущение.

В этом приближении уравнения Эйнштейна линейно сводятся к волновому уравнению:

$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

где $\bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h$ — тензор, приведенный в трассовом (TT) калибровании, а Tμν — тензор энергии-импульса материи.

Энергия гравитационной волны проявляется в квадратичных членах hμν2. Линейное приближение не содержит собственного тензора энергии ГВ, так как энергия связана с нелинейностью поля. Для её описания вводится псевдотензор энергии-импульса tμν, который учитывает квадратичные по h члены.

2. Псевдотензор энергии-импульса

Одним из распространенных способов описания локальной энергии и импульса является тензор Ландау–Лифшица tμν:

$$ t^{\mu\nu} = \frac{c^4}{32 \pi G} \langle \partial^\mu h_{\alpha\beta} \, \partial^\nu h^{\alpha\beta} \rangle, $$

где ⟨…⟩ означает усреднение по нескольким длинам волны, чтобы исключить быстрые осцилляции.

Ключевые моменты:

  • Энергия пропорциональна квадрату производной ḣαβ2.
  • Импульс связан с направлением распространения волны: для плоской волны вдоль оси z плотность энергии t00 и поток энергии t0z совпадают по величине.
  • Псевдотензор зависит от калибровки, но интегральные величины, такие как полная энергия, не зависят от выбора координат.

3. Плотность энергии и поток

Для плоской гравитационной волны в TT-калибровании с компонентами h+ и h×:

$$ h_{ij}^{TT}(t, z) = \begin{pmatrix} h_+ & h_\times & 0 \\ h_\times & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cos(k z - \omega t) $$

Плотность энергии выражается как:

$$ \mathcal{E} = t^{00} = \frac{c^2}{32 \pi G} \langle \dot{h}_{+}^2 + \dot{h}_{\times}^2 \rangle. $$

Поток энергии по направлению z:

$$ \mathcal{S} = c \, t^{0z} = \frac{c^3}{32 \pi G} \langle \dot{h}_{+}^2 + \dot{h}_{\times}^2 \rangle. $$

Таким образом, ГВ переносят энергию и импульс подобно электромагнитным волнам, но с коэффициентом, зависящим от G/c2, что делает их взаимодействие с веществом крайне слабым.

4. Энергетический баланс в системах-источниках

В системах с массивными телами (например, бинарные пульсары) потеря энергии через гравитационное излучение выражается через квадрупольную формулу:

$$ \frac{dE}{dt} = - \frac{G}{5 c^5} \langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}_{ij} \rangle, $$

где Qij — тензор квадрупольного момента массы системы, а тройная точка обозначает третью временную производную.

Основные следствия:

  • Движение масс с переменным квадрупольным моментом является основным источником гравитационных волн.
  • Энергия убывает из системы, вызывая сужение орбит и изменение периода обращения бинарных систем.
  • Наблюдения за изменением периода бинарных пульсаров, таких как PSR B1913+16, подтверждают предсказания ОТО с высокой точностью.

5. Импульс и реактивные эффекты

Гравитационные волны переносят не только энергию, но и линейный и угловой импульс. Для системы, теряющей импульс:

$$ \frac{dP^i}{dt} = - \frac{G}{c^5} \langle \epsilon^{ijk} \dddot{Q}_{jl} \ddot{Q}_{kl} \rangle, $$

где Pi — компонент линейного импульса, ϵijk — символ Леви–Чивиты.

Влияние на систему:

  • Испускаемые ГВ создают реактивную силу, изменяющую орбиты и скорость вращения.
  • В астрофизике это приводит к замедлению вращения нейтронных звезд и к постепенному сокращению орбит двойных систем.

6. Усреднение и интерпретация

Поскольку метрика флуктуирует быстро, для физически наблюдаемых эффектов вводится усредненная по волне энергия:

$$ \langle t_{\mu\nu} \rangle = \frac{c^4}{32 \pi G} \langle \partial_\mu h_{\alpha\beta}^{TT} \, \partial_\nu h^{\alpha\beta}_{TT} \rangle. $$

Особенности:

  • Усреднение исключает локальные осцилляции и оставляет только поток энергии.
  • Псевдотензор описывает глобальный обмен энергией между источником и окружающим пространством.

7. Масштаб энергий и измеримость

Энергетическая плотность ГВ крайне мала: для сигналов LIGO h ∼ 10−21, что приводит к:

ℰ ∼ 10−9 Дж/м³,

что в 20–30 порядках меньше плотности энергии электромагнитного фона, но интегральная энергия, излучаемая слиянием черных дыр, может достигать нескольких солнечных масс M⊙c2.

Вывод: энергия и импульс гравитационных волн, несмотря на малую локальную плотность, играют решающую роль в динамике астрофизических систем и могут быть измерены при помощи высокочувствительных интерферометров.

Оглавление