f(R) гравитация

Модифицированные теории гравитации f(R) представляют собой обобщение Общей теории относительности (ОТО), где скаляр кривизны R в лагранжиане заменяется на произвольную функцию f(R). Это расширение позволяет исследовать космологические и астрофизические явления, которые трудно объяснить в рамках стандартной ОТО, включая ускоренное расширение Вселенной, темную материю и первичные гравитационные волны.

Лагранжиан f(R)-гравитации записывается как:

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2\kappa} f(R) + \mathcal{L}_\text{м}, $$

где κ = 8πG в системе единиц c = 1, а ℒ_м — лагранжиан материи. Функция f(R) обычно выбирается как аналитическая функция кривизны R, позволяющая включать нелинейные поправки к Эйнштейновой гравитации.

Уравнения движения

Применение вариационного принципа к действию $S = \int \sqrt{-g} \mathcal{L} \, d^4x$ с учетом функции f(R) приводит к модифицированным уравнениям Эйнштейна:

$$ f_R(R) R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} f(R) g_{\mu\nu} - \nabla_\mu \nabla_\nu f_R(R) + g_{\mu\nu} \Box f_R(R) = \kappa T_{\mu\nu}, $$

где $f_R(R) \equiv \frac{df}{dR}$, □ = g^αβ∇_α∇_β — оператор Д’Аламбера, а T_μν — тензор энергии-импульса материи. Эти уравнения являются четвертого порядка по производным метрики, в отличие от второго порядка в стандартной ОТО.

Ключевым свойством f(R)-гравитации является появление дополнительного скалярного степенного поля f_R(R), которое можно трактовать как дополнительный носитель гравитационного взаимодействия, способный генерировать новые моды гравитационных волн.

Линейная теория возмущений

Для исследования гравитационных волн рассматривают малые возмущения метрики:

g_μν = ḡ_μν + h_μν,  |h_μν| ≪ 1,

где ḡ_μν — фоновая метрика, часто выбираемая как метрика Минковского пространства. Линейзация уравнений f(R)-гравитации вокруг плоского фона дает:

□h̄_μν = 0,  (□−m²)δR = 0,

где $\bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h$, а $m^2 = \frac{f_R - R f_{RR}}{3 f_{RR}}$ — эффективная масса скалярного поля f_R. Таким образом, f(R)-гравитация предсказывает две поляризации гравитационных волн: стандартную тензорную (как в ОТО) и дополнительную скалярную моду, распространяющуюся с массой m.

Поляризации гравитационных волн

В стандартной ОТО в вакууме существуют две независимые поляризации гравитационных волн: + и ×. В f(R)-гравитации появляется третья поляризация — скалярная, также называемая продольной или дыхательной:

1. Тензорные моды: аналогичны гравитационным волнам Эйнштейна, распространяются со скоростью света c.
2. Скалярная мода: описывается волновым уравнением с массой m, распространяется медленнее света, что приводит к дисперсии волн и ослаблению сигнала на больших расстояниях.

Скалярная мода влияет на деформацию пространственно-временного интервала, вызывая расширение и сжатие объектов в направлении распространения волны. Это ключевой маркер для тестирования f(R)-гравитации на основе наблюдений гравитационных волн.

Источники гравитационных волн в f(R)-гравитации

Источники остаются аналогичными стандартной ОТО: слияние черных дыр, нейтронных звезд, суперновые и первичные процессы ранней Вселенной. Однако дополнительная скалярная мода может существенно изменять спектр и амплитуду излучения, особенно для массивных объектов:

• Слияния компактных объектов: усиление скалярной компоненты возможно для систем с высокой асимметрией масс.
• Космологические флуктуации: ранняя Вселенная может генерировать скалярные гравитационные волны с характерными длинами волн, отличными от тензорных.
• Вакуумные решения и черные дыры: модифицированные решения Шварцшильда и Керра создают новые типы излучения вблизи горизонта.

Энергетический поток и детекция

Энергия гравитационных волн в f(R)-гравитации определяется обобщенным тензором энергии-импульса Папапетру. Для слабых возмущений:

$$ t_{\mu\nu} \sim \frac{1}{\kappa} \langle \partial_\mu h_{\alpha\beta} \partial_\nu h^{\alpha\beta} + \partial_\mu \delta R \partial_\nu \delta R \rangle. $$

Скалярная мода вносит дополнительный вклад в энерговыделение, что может быть измерено через современные детекторы гравитационных волн (LIGO, Virgo, KAGRA). Она проявляется в виде:

• Различных временных задержек между тензорными и скалярными сигналами.
• Дисперсии волнового пакета, характерной для массивной моды.
• Продольных колебаний пространственно-временного интервала.

Космологические последствия

Функции f(R) с нелинейными членами R², R⁻¹ или экспоненциальными формами способны:

• Объяснять ускоренное расширение Вселенной без введения темной энергии.
• Генерировать первичные скалярные гравитационные волны с амплитудами, измеримыми в будущих космологических экспериментах.
• Влиять на рост структуры Вселенной, поскольку скалярное поле изменяет потенциал Ньютона на больших масштабах.

Ключевые моменты

• f(R)-гравитация является расширением ОТО с добавлением нелинейной функции кривизны R.
• Появляется дополнительная скалярная поляризация гравитационных волн, распространяющаяся с массой m.
• Линейная теория возмущений позволяет выделить тензорные и скалярные моды для наблюдательных предсказаний.
• Энергетический поток учитывает как стандартные тензорные, так и новые скалярные компоненты.
• Космологические и астрофизические эффекты f(R)-гравитации открывают перспективы для тестирования модифицированной теории через детекторы гравитационных волн и наблюдения крупномасштабной структуры Вселенной.