Основные принципы
Геометрическая оптика гравитационных волн (ГОВ) представляет собой приближение, при котором длина волны гравитационного излучения много меньше характерного масштаба изменения кривизны пространства-времени. В этом пределе гравитационные волны ведут себя аналогично световым лучам в классической геометрической оптике: их фронты распространяются вдоль геодезических линий, а энергия переносится по направлению этих линий.
Формально, геометрическая оптика применима, если выполняется условие:
λ ≪ Lкр,
где λ — длина волны гравитационного излучения, Lкр — характерный масштаб изменения метрики пространства-времени (например, радиус кривизны около массивного объекта).
Представление гравитационных волн в приближении ГОВ
В приближении геометрической оптики гравитационные волны можно представить через быстрые фазовые колебания на фоне медленно изменяющегося амплитудного вектора:
hμν = Aμν(xα) eiΦ(xα),
где hμν — возмущение метрики, Φ — быстро меняющаяся фаза, Aμν — медленно изменяющаяся амплитуда. При этом вектор волнового числа определяется как:
kμ = ∂μΦ.
В геометрической оптике гравитационные волны подчиняются уравнению:
kν∇νkμ = 0,
что означает распространение вдоль геодезических null-линий (для волн в вакууме).
Поляризация гравитационных волн
В ГОВ поляризация гравитационных волн переносится параллельно вдоль геодезических. Амплитудная тензорная структура сохраняется, удовлетворяя условию:
kμAμν = 0, gμνAμν = 0.
Это выражает трансверсальность и отсутствие следа тензора возмущений, что характерно для гравитационных волн в общей теории относительности.
Энергетический поток и светимость
Энергетический поток волн в приближении геометрической оптики определяется тензором энергии и импульса в квадратичном приближении по возмущениям метрики:
$$ T_{\mu\nu}^{(\text{GW})} = \frac{1}{32\pi G} \langle \nabla_\mu h_{\alpha\beta} \nabla_\nu h^{\alpha\beta} \rangle, $$
где усреднение выполняется по быстроменяющейся фазе. В этом приближении энергия волн локализована вдоль геодезических, а её поток направлен по вектору kμ.
Гравитационные линзы и отклонение лучей
Геометрическая оптика позволяет описывать эффект гравитационного линзирования для гравитационных волн. Поскольку лучи волн следуют за геодезическими пространства-времени, массивные объекты могут изменять направление их распространения и создавать усиление или ослабление амплитуды на удалении от источника. Классические формулы линзирования в слабом поле применимы, при этом для гравитационных волн важно учитывать:
Распространение в сложных геометриях
В более сложных конфигурациях, например, вокруг вращающихся черных дыр (метрика Керра), геометрическая оптика позволяет определить траектории волн и их фазовые сдвиги. Волны подчиняются уравнениям типа eikonal:
gμν∂μΦ ∂νΦ = 0,
где gμν — метрика искривленного пространства-времени. Решение этих уравнений описывает линии, вдоль которых концентрируется энергия волн.
Применение в астрономических наблюдениях
Ключевые моменты