В условиях сильных гравитационных полей, характерных для окрестностей черных дыр и нейтронных звезд, классическая гидродинамика существенно модифицируется. Основной формализм опирается на общую теорию относительности, где динамика жидкости описывается с помощью тензорного уравнения сохранения энергии и импульса:
∇μTμν = 0,
где Tμν — тензор энергии-импульса, а ∇μ — ковариантная производная в искривленном пространстве-времени. Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса принимает вид:
Tμν = (ρ + p)uμuν + pgμν,
где ρ — плотность энергии, p — давление, uμ — 4-скорость жидкости, gμν — метрика пространства-времени.
Ключевой момент: вблизи компактных объектов пространство-время сильно искривлено, и динамика жидкости определяется не только локальными силами давления и вязкости, но и геометрией метрики.
Классическое уравнение непрерывности:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$
в релятивистской гидродинамике переписывается через 4-плотность тока массы Jμ = ρuμ:
∇μJμ = 0.
Это уравнение обеспечивает сохранение массы (или числа частиц) в искривленном пространстве-времени.
Особенность: при сильной гравитации локальные объёмы измеряются по метрике, что приводит к дополнительным корректирующим коэффициентам при вычислении плотностей и потоков массы.
Уравнение движения для идеальной жидкости в кривом пространстве:
(ρ + p)uμ∇μuν + ∇νp + uνuμ∇μp = 0.
Разделение на пространственные и временные компоненты в локальной системе отсчета позволяет получить аналог ускорения жидкости в обычной гидродинамике, но с добавлением поправок, связанных с кривизной метрики и гравитационными приливными силами.
В стационарных условиях для жидкости в сильном гравитационном поле можно записать уравнение гидростатического равновесия:
$$ \frac{\nabla p}{\rho + p} = - \nabla \ln u^t, $$
где ut — компонент 4-скорости, связанная с потенциальной энергией жидкости. Для сферически симметричного поля (метрика Шварцшильда):
$$ ds^2 = - \left(1 - \frac{2GM}{r}\right) dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2, $$
гидростатическое равновесие превращается в релятивистский аналог закона гидростатики:
$$ \frac{dp}{dr} = - (\rho + p) \frac{GM}{r^2} \left(1 - \frac{2GM}{r}\right)^{-1}. $$
Ключевой момент: давление и плотность внутри компактного объекта могут значительно отличаться от классических предсказаний из-за факторов (1 − 2GM/r)−1.
Гидродинамические возмущения в сильном гравитационном поле описываются релятивистскими волновыми уравнениями. Для малых возмущений плотности δρ и скорости δuμ линейная аппроксимация дает:
(ρ + p)uμ∇μδuν + ∇νδp = 0.
Вблизи горизонта черной дыры скорость звука жидкости и её распространение испытывают гравитационное замедление (redshift), что приводит к эффектам «зависания волн» и модифицированным спектрам колебаний.
Вблизи компактных объектов жидкости часто образуют аккреционные диски. Основные уравнения описываются релятивистской версией уравнений Навье–Стокса с добавлением вязкости и магнитогидродинамических эффектов:
(ρ + p)uμ∇μuν + ∇νp − ∇μτμν = fмагнν,
где τμν — тензор вязкости, а fмагнν — магнитные силы.
Особенность: в релятивистских дисках аккреция сопровождается значительным переносом углового момента, турбулентностью и генерацией гравитационных волн в результате нестационарных возмущений.
Сильные гравитационные поля модифицируют энергию и импульс жидкости. Энергетический поток определяется компонентой тензора энергии-импульса:
E = ∫T0μdΣμ,
где dΣμ — элемент гиперповерхности в кривом пространстве-времени. Релятивистские эффекты включают: