Гравитационное линзирование волн представляет собой эффект изменения направления распространения гравитационных волн под действием искривления пространства-времени массивными объектами. Этот феномен является аналогом оптического линзирования света, но для гравитационных волн его проявления имеют специфические особенности, обусловленные их длинной волны и слабым взаимодействием с материей.
Ключевым моментом является то, что гравитационные волны подчиняются уравнениям линейных возмущений метрики в общей теории относительности. В слабом поле искривление пространства вокруг массивного объекта приводит к изменению геодезических линий, по которым распространяются волны. При этом наблюдаются два основных эффекта: фокусировка волны и мультипликативное усиление амплитуды.
Гравитационные волны описываются возмущением метрики hμν на фоне метрики gμν фонового пространства-времени:
gμν → gμν + hμν, |hμν| ≪ 1.
В слабополевом приближении линейные волновые уравнения для hμν имеют вид:
□hμν = 0,
где □ — оператор Д’Аламбера в искривленном пространстве. В присутствии массивного объекта с массой M метрика описывается, например, Шварцшильдовским решением:
$$ ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2), $$
и волновое уравнение приобретает вид, учитывающий кривизну геодезических. Решения уравнения показывают, что фронт волны искривляется вокруг объекта, создавая характерное распределение амплитуд на наблюдателе.
Для анализа гравитационного линзирования можно использовать два подхода:
Геометрическая оптика (коротковолновое приближение): Здесь волны рассматриваются как лучи, следуя геодезическим линиям в искривленном пространстве. Основная формула для угла отклонения луча от прямолинейного пути вокруг массы M:
$$ \hat{\alpha} \approx \frac{4GM}{c^2 b}, $$
где b — расстояние до линии обзора (impact parameter). Этот угол применим для волн, длина которых значительно меньше характерного масштаба линзы.
Волновая оптика (длинноволновое приближение): Для длинных гравитационных волн интерференционные эффекты становятся значимыми. В этом случае амплитуда волны в точке наблюдения определяется интегралом Фейнмана по всем возможным геодезическим:
hobs ∼ ∫????(x)eiϕ(x)d2x,
где ????(x) — локальная амплитуда, ϕ(x) — фазовый лаг, зависящий от пути и потенциала. Такой подход позволяет учесть дифракцию и интерференцию.
1. Усиление и ослабление сигнала: Гравитационная линза может усиливать или ослаблять амплитуду волны в зависимости от конфигурации источника, линзы и наблюдателя. Усиление определяется коэффициентом:
$$ \mu = \frac{\text{Интенсивность после линзы}}{\text{Интенсивность без линзы}}. $$
2. Многообразие образов: При точном выравнивании источника, линзы и наблюдателя может возникнуть несколько изображений сигнала, приходящих с различными временными задержками. Для гравитационных волн это проявляется как мультипликативные пики амплитуды на детекторах.
3. Хроматизм: Поскольку гравитационные волны имеют широкую спектральную плотность, линзирование может изменять фазу разных частот по-разному, что приводит к спектральной модуляции сигнала.
4. Временные задержки: Разные пути через линзу имеют разную геодезическую длину и гравитационный потенциал, что вызывает временные сдвиги между компонентами сигнала. Это особенно важно для детекции сигналов слияния компактных объектов.
Гравитационное линзирование гравитационных волн позволяет:
Современные исследования используют численные методы для моделирования линзирования:
Такие модели позволяют прогнозировать, как сигнал от слияния двух черных дыр будет виден после прохождения через массивную галактическую линзу, учитывая дифракцию и мультипликативные образы.