Инфляционные модели и тензорные возмущения

Инфляционные модели Вселенной представляют собой ключевой компонент современной космологии, объясняющий однородность, изотропность и плоскостность наблюдаемой Вселенной, а также происхождение малых возмущений, приведших к формированию крупномасштабной структуры. Одним из важнейших предсказаний инфляционной парадигмы являются тензорные возмущения метрики, которые интерпретируются как первичные гравитационные волны.

1. Основы инфляции и генерация возмущений

Инфляция описывается посредством скалярного поля ϕ, называемого инфлатоном, с потенциальной энергией V(ϕ). Эволюция поля и метрики задается системой уравнений Фридмана и уравнением движения скалярного поля:

$$ H^2 = \frac{8 \pi G}{3} \left( \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + V(\phi) \right), \quad \ddot{\phi} + 3H\dot{\phi} + \frac{dV}{d\phi} = 0, $$

где H = ȧ/a — параметр Хаббла, a(t) — масштабный фактор.

В рамках квантовой теории поля на кривой пространственно-временной фон создаются флуктуации. Эти флуктуации разделяются на:

• Скалярные возмущения, ответственные за плотностные неоднородности.
• Тензорные возмущения, интерпретируемые как гравитационные волны.

Для тензорных возмущений метрика записывается как:

ds² = a²(η)[−dη² + (δ_ij + h_ij)dxⁱdx^j],

где η — конформное время, а h_ij — транспонсивно-трасверсальные колебания (∂ⁱh_ij = 0, h_iⁱ = 0).

2. Квантование тензорных мод

Тензорные возмущения можно разложить по поляризациям + и ×:

$$ h_{ij}(\eta, \mathbf{x}) = \sum_{s=+,\times} \int \frac{d^3k}{(2\pi)^{3/2}} \epsilon^s_{ij}(\mathbf{k}) \left[ h^s_k(\eta) e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x}} \hat{a}_{\mathbf{k}}^s + h.c. \right], $$

где ϵ_ij^s(k) — тензоры поляризации, â_k^s и â_k^s† — операторы рождения и уничтожения. Эволюция мод h_k^s(η) удовлетворяет уравнению:

$$ h_k^{s\prime\prime} + 2 \frac{a'}{a} h_k^{s\prime} + k^2 h_k^s = 0, $$

где штрих означает производную по конформному времени.

На сверхгоризонтных масштабах (k ≪ aH) решение стабилизируется:

$$ |h_k^s| \simeq \frac{H}{M_\text{Pl} k^{3/2}}, $$

что формирует плоский спектр тензорных возмущений.

3. Спектр тензорных возмущений

Плотность мощности гравитационных волн задается через спектральную функцию P_T(k):

⟨h_ij(k)h^ij(k′)⟩ = (2π)³δ³(k − k′)P_T(k),

$$ P_T(k) = \frac{2}{\pi^2} \frac{H^2}{M_\text{Pl}^2}. $$

Тензорный спектр часто характеризуют тензорным индексом n_T:

P_T(k) ∝ k^n_T,  n_T ≃ −2ϵ,

где ϵ = −Ḣ/H² — малая инфляционная параметризация, связанная с медленным спадом потенциала.

4. Отношение тензор/скаляр

Одним из важных наблюдаемых параметров является отношение амплитуд тензорных и скалярных возмущений r:

$$ r \equiv \frac{P_T(k_*)}{P_S(k_*)} \simeq 16 \epsilon, $$

где k_* — характерный масштаб, на котором измеряется спектр, а P_S — спектр скалярных возмущений. Значение r тесно связано с формой потенциала V(ϕ) и определяет энергетический масштаб инфляции:

$$ V^{1/4} \simeq 1.06 \times 10^{16} \, \text{ГэВ} \, \left(\frac{r}{0.01}\right)^{1/4}. $$

5. Наблюдательные последствия

Тензорные возмущения инфляционной эпохи оставляют след в поляризации CMB. В частности, B-моды поляризации являются прямым индикатором первичных гравитационных волн. Наблюдения современных миссий (Planck, BICEP/Keck) ставят ограничения на r ≲ 0.03, что накладывает ограничения на инфляционные модели, особенно на модели с “крутыми” потенциалами.

Гравитационные волны инфляционного происхождения отличаются от астрофизических источников по двум признакам:

• Горизонтальный спектр на больших масштабах (слабый спад амплитуды с увеличением длины волны).
• Статистическая изотропность и гауссовость, что является прямым следствием квантовой природы возмущений.

6. Примеры инфляционных моделей

Разные формы потенциала V(ϕ) приводят к различной амплитуде и наклону тензорного спектра:

1. Мономиальные модели: V(ϕ) ∝ ϕⁿ

   • Для n = 2 (классическая инфляция Хьюббла) r ∼ 0.13.
   • Для n < 2 r уменьшается, спектр становится ближе к наблюдаемым ограничениям.

2. Плоские потенциалы (Starobinsky, Higgs-инфляция)

   • $V(\phi) \propto (1 - e^{- \sqrt{2/3} \phi/M_\text{Pl}})^2$
   • Предсказывают малые значения r ∼ 0.003 − 0.005, согласующиеся с текущими ограничениями.

3. Эксотические модели с высокой скоростью звука или нестандартной кинетикой

   • Могут давать повышенные или пониженные значения r, но часто сопровождаются специфическими нестандартными корреляциями.

7. Связь с теорией квантовой гравитации

Инфляционные тензорные возмущения являются уникальной возможностью заглянуть в энергетику планковских масштабов, так как амплитуда гравитационных волн напрямую зависит от H/M_Pl. Поскольку H во время инфляции может достигать 10¹³ − 10¹⁴ ГэВ, наблюдение B-мод CMB позволяет проверить космологические сценарии, близкие к квантовой гравитации.