Передаточная функция является ключевым понятием в анализе отклика детекторов гравитационных волн (ГВ) на внешние возмущения. Она описывает, как система преобразует входной сигнал, будь то гравитационное возмущение или шум, в измеряемый выходной сигнал, например, вариацию длины интерферометра или фотодетекторный отклик. Математически передаточная функция H(f) связывает спектральные компоненты входного x(t) и выходного y(t) сигналов в частотной области:
Y(f) = H(f) ⋅ X(f)
где X(f) и Y(f) — преобразования Фурье входного и выходного сигналов соответственно, а H(f) — комплексная функция частоты f, учитывающая амплитуду и фазу отклика системы.
Передаточная функция детектора гравитационных волн обычно включает несколько ключевых компонент:
Механический отклик массы и подвесок Основные массы интерферометров (зеркала) подвешены на многоступенчатых подвесках для подавления сейсмических колебаний. Подвеска действует как набор гармонических осцилляторов, и её отклик на внешние силы описывается:
$$ H_m(f) = \frac{1}{m\left((2\pi f_0)^2 - (2\pi f)^2 + i \gamma 2\pi f\right)} $$
где m — масса зеркала, f0 — собственная частота подвески, γ — коэффициент демпфирования. На низких частотах (f ≪ f0) амплитуда смещения практически равна приложенной силе, а на высоких частотах (f ≫ f0) эффект демпфирования подавляет колебания.
Оптический отклик интерферометра Интерферометр преобразует колебания зеркал в вариации интенсивности света на фотодетекторе. Для двухтоновой схемы с Fabry–Perot резонаторами передаточная функция имеет вид:
$$ H_\text{opt}(f) = \frac{G}{1 + i f/f_c} $$
где G — усиление резонатора, fc — характерная полоса пропускания. Это создаёт низкочастотное усиление и высокочастотное затухание.
Электронный отклик системы считывания Фотоэлектрические и электронные цепи вводят собственную амплитудно-частотную и фазочастотную зависимость. Часто электронный блок можно моделировать как последовательность фильтров первого или второго порядка:
$$ H_\text{elec}(f) = \prod_i \frac{1}{1 + i f/f_i} $$
где fi — характерные частоты отдельных фильтров.
Итоговая передаточная функция детектора:
Htot(f) = Hm(f) ⋅ Hopt(f) ⋅ Helec(f)
Комплексная природа H(f) подразумевает два важных аспекта:
Взаимосвязь амплитуды и фазы в линейных системах подчиняется теореме Крамерса–Кроннига, что обеспечивает внутреннюю согласованность измерений.
Существуют три основных подхода к определению H(f) для детекторов ГВ:
Инжекция известных сигналов (calibration lines) На зеркало или в систему подвески вводят гармонический сигнал известной амплитуды, после чего измеряют выходной сигнал. Сравнение позволяет вычислить амплитудно-частотную зависимость и фазу отклика.
Моделирование и симуляция Полные компьютерные модели интерферометра, включая механическую и оптическую части, позволяют рассчитать теоретический отклик. Такие модели критичны при проектировании и прогнозировании чувствительности.
Анализ шума и обратная задача При известных спектрах внешнего шума можно с помощью корреляционного анализа оценить передаточную функцию. Этот метод особенно полезен для постоянного мониторинга стабильности системы.
Передаточные функции детекторов ГВ имеют несколько типичных диапазонов:
Каждая область требует особого подхода к калибровке и учёту фазовых сдвигов для точного восстановления формы сигнала гравитационной волны.
Для точного анализа сигналов необходимо учитывать временные изменения передаточной функции:
H(f, t) = H0(f) + ΔH(f, t)
где ΔH(f, t) описывает флуктуации, вызванные изменениями температуры, дрейфом оптической системы или механическими колебаниями. Методы динамической калибровки включают:
Поддержание стабильности передаточной функции критично для извлечения малых сигналов, таких как слияние черных дыр или нейтронных звезд.