Квадрупольная формула излучения

В рамках общей теории относительности, источники гравитационных волн не могут быть монопольными или дипольными, как это бывает в электродинамике. Основным механизмом излучения является квадрупольное распределение массы. Это связано с тем, что энергия и импульс гравитационного поля связаны с тензором Эйнштейна, который удовлетворяет закону сохранения. Следовательно, отсутствие дипольного гравитационного излучения следует из сохранения импульса и массы системы.

Тензор квадруполя

Классический тензор квадруполя для распределения массы задается как:

$$ Q_{ij}(t) = \int \rho(\mathbf{x}, t) \left( x_i x_j - \frac{1}{3} \delta_{ij} r^2 \right) d^3x, $$

где:

• ρ(x, t) — плотность массы в точке x в момент времени t,
• x_i, x_j — координатные компоненты радиус-вектора,
• δ_ij — символ Кронекера,
• r² = x₁² + x₂² + x₃².

Тензор Q_ij является симметричным и без следа, что отражает физический принцип: излучение зависит от неоднородностей в распределении массы, а не от общей массы системы.

Волновое решение для гравитационных волн

В слабополевом приближении поле метрики можно записать как g_μν = η_μν + h_μν, где h_μν ≪ 1. Для волнового решения в пустоте справедливо уравнение:

$$ \Box h_{ij}^{TT} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{ij}^{TT}, $$

где TT обозначает транверсально-трейсное (трасс-ноль) проецирование, а □ — д’Аламберов оператор. Решение в дальней зоне от источника имеет вид:

$$ h_{ij}^{TT}(t, \mathbf{r}) = \frac{2G}{c^4 r} \frac{d^2 Q_{ij}^{TT}}{dt^2}\bigg|_{t - r/c}, $$

что демонстрирует зависимость амплитуды гравитационной волны от второй производной тензора квадруполя по времени. Здесь r — расстояние до наблюдателя, а t − r/c — время ретардации.

Мощность излучения

Средняя мощность, излучаемая системой, определяется выражением:

$$ P = \frac{G}{5 c^5} \left\langle \frac{d^3 Q_{ij}}{dt^3} \frac{d^3 Q_{ij}}{dt^3} \right\rangle, $$

где угловые скобки обозначают усреднение по времени. Заметим ключевой момент: мощность излучения зависит от третьей производной тензора квадруполя, что подчеркивает роль ускорений и изменения конфигурации масс.

Примеры систем с квадрупольным излучением

1. Двоичные звезды: Система двух масс, вращающихся вокруг общего центра масс, является классическим источником. Для круговой орбиты с радиусом a и массами m₁, m₂ амплитуда волны и излучаемая мощность имеют аналитические выражения:

Q_xx = μa²(1 + cos 2ωt),  Q_yy = μa²(1 − cos 2ωt),  Q_xy = μa²sin 2ωt,

где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ — редуцированная масса, ω — орбитальная угловая частота.

2. Неравномерное вращение массивного тела: Например, вращение нейтронной звезды с небольшими неровностями поверхности создает периодическое изменение квадруполя, что приводит к слабому, но непрерывному излучению.

Особенности квадрупольного излучения

• Прямолинейные движения не излучают — необходима асимметрия распределения масс.
• Амплитуда уменьшается с расстоянием как 1/r, а плотность потока энергии как 1/r².
• Частота излучения связана с частотой изменения квадруполя, например, для двоичных систем f_GW = 2f_orbit.

Связь с наблюдаемыми величинами

Для детекторов гравитационных волн, таких как LIGO или Virgo, ключевыми параметрами являются амплитуда h и частота f. Квадрупольная формула позволяет оценивать эти параметры по известной массе и орбитальным характеристикам источника:

$$ h \sim \frac{4 G \mu \omega^2 a^2}{c^4 r}. $$

Эта формула позволяет проводить косвенную проверку предсказаний ОТО, сравнивая наблюдаемые сигналы с теоретическими моделями, что было успешно сделано для систем типа двойной пульсар PSR B1913+16.