Квантовые флуктуации метрики

Основы квантования гравитационного поля

Классическая теория гравитации, представленная уравнениями Эйнштейна, описывает пространство-время как гладкое четырёхмерное многообразие с метрикой g_μν. В квантовой механике, напротив, любое поле подвержено флуктуациям, и гравитационное поле не является исключением. Квантовые флуктуации метрики возникают как следствие принципа неопределённости Гейзенберга, применимого к компонентам метрического тензора и их канонически сопряжённым переменным.

Для малых возмущений метрики относительно фона g_μν⁽⁰⁾ вводят разложение:

g_μν = g_μν⁽⁰⁾ + h_μν,

где h_μν — малые возмущения. В рамках линейной теории возмущения h_μν рассматриваются как квантовые поля, подчиняющиеся квантовому уравнению движения, получаемому из линейной версии уравнений Эйнштейна.

Каноническое квантование предполагает введение операторов ĥ_μν и их сопряжённых моментов π̂^μν, удовлетворяющих коммутационным соотношениям:

[ĥ_μν(x, t), π̂^ρσ(y, t)] = iℏδ_μν^ρσδ³(x − y),

где δ_μν^ρσ — симметризованный тензорный дельта-функциональный символ. Эти соотношения задают фундаментальные квантовые флуктуации метрики.

Флуктуации на плоском фоне

На плоском пространстве Минковского (η_μν) волновые возмущения h_μν удовлетворяют линейным уравнениям:

□h_μν = 0,

при наложении калибровочного условия Лоренца $\partial^\mu h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \partial_\nu h = 0$, где h = h_μ^μ. Решения этих уравнений раскладываются по модам плоских волн:

ĥ_μν(x, t) = ∑_k, λ(â_k, λϵ_μν^(λ)e^{i(k ⋅ x − ωt)} + â_k, λ^†ϵ_μν^*(λ)e^{−i(k ⋅ x − ωt)}),

где ϵ_μν^(λ) — поляризационные тензоры двух поперечных поляризаций λ = +, ×, а â_k, λ, â_k, λ^† — операторы уничтожения и рождения гравитонов.

Спектр квантовых флуктуаций

Для вакуума спектр флуктуаций определяется вакуумным состоянием |0⟩, удовлетворяющим â_k, λ|0⟩ = 0. Корреляционная функция метрики имеет вид:

$$ \langle 0 | \hat{h}_{\mu\nu}(\mathbf{x}, t) \hat{h}_{\rho\sigma}(\mathbf{y}, t') | 0 \rangle = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \sum_{\lambda} \epsilon_{\mu\nu}^{(\lambda)} \epsilon_{\rho\sigma}^{*(\lambda)} e^{i \mathbf{k}\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{y}) - i \omega (t-t') }. $$

Из этого выражения выводится спектральная плотность флуктуаций, которая является основой для оценки влияния квантовых гравитационных эффектов на наблюдаемые процессы.

Квантовые флуктуации и космология

Квантовые флуктуации метрики играют ключевую роль в ранней Вселенной, особенно в контексте инфляционной космологии. В инфляционной фазе микроскопические флуктуации метрики растягиваются до макроскопических масштабов, формируя спектр первичных гравитационных волн. Квантовая природа этих волн проявляется в статистике поляризаций и корреляций амплитуд на больших угловых масштабах.

Флуктуации метрики также дают вклад в космологические наблюдаемые, такие как анизотропии реликтового излучения и спектр плотностных возмущений, что делает их объектом прямого экспериментального интереса.

Связь с гравитационными волнами

Гравитационные волны, зарегистрированные LIGO и Virgo, являются макроскопическим проявлением флуктуаций метрики. На малых масштабах эти волны подвержены квантовым шумам, определяемым дискретной природой гравитонов. Теоретическая оценка этих флуктуаций важна для предельной чувствительности детекторов и для планирования будущих экспериментов по детекции реликтовых квантовых гравитационных волн.

Методы описания

Существуют различные подходы к описанию квантовых флуктуаций метрики:

Каноническое квантование: непосредственно строятся операторы поля и их коммутационные соотношения, применимо к малым возмущениям.
Путь интегралов: функциональные интегралы по метрикам позволяют учитывать нелинейные эффекты и переход к статистическим средним.
Квантовая теория возмущений на кривом фоне: учитывает влияние кривизны и расширения Вселенной на квантовые моды, важна для космологии.

Каждый из этих методов позволяет вычислять корреляционные функции, спектры флуктуаций и предсказывать наблюдаемые эффекты на различных масштабах, от микроскопических до космологических.