Линеаризованная общая теория относительности

Основы линейного приближения

Линеаризованная общая теория относительности (ОТО) возникает из уравнений Эйнштейна при предположении слабого гравитационного поля. Пусть метрика пространства-времени g_μν отличается от метрического тензора плоского пространства η_μν на малую величину h_μν:

g_μν = η_μν + h_μν,  |h_μν| ≪ 1

Здесь η_μν — метрика Минковского, а h_μν — возмущение, которое описывает слабые гравитационные эффекты. Линеаризация позволяет рассматривать только члены первого порядка по h_μν, что значительно упрощает сложные уравнения Эйнштейна.

---

Линеаризованные уравнения Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна в общем виде:

$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

где $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$ — тензор Эйнштейна, T_μν — тензор энергии-импульса.

После подстановки g_μν = η_μν + h_μν и сохранения только линейных членов по h_μν получаем линеаризованный тензор Эйнштейна:

$$ G_{\mu\nu}^{(1)} = \frac{1}{2} \left( \partial_\sigma \partial_\mu h^\sigma_\nu + \partial_\sigma \partial_\nu h^\sigma_\mu - \Box h_{\mu\nu} - \partial_\mu \partial_\nu h \right) - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} \left( \partial_\alpha \partial_\beta h^{\alpha\beta} - \Box h \right), $$

где h = η^μνh_μν, а □ = η^μν∂_μ∂_ν — оператор Д’Аламбера.

Таким образом, линеаризованные уравнения Эйнштейна в вакууме (T_μν = 0) имеют вид:

□h̄_μν = 0,

где $\bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h$ — преобразованная форма возмущения.

---

Калибровка Лоренца (гармоническая калибровка)

Для упрощения уравнений используется гармоническая калибровка:

∂^νh̄_μν = 0

Эта калибровка играет аналогичную роль, как калибровка Лоренца в электродинамике, и позволяет свести уравнения к форме волнового уравнения. Она уменьшает количество независимых компонентов h_μν с 10 до 6. В дальнейшем можно наложить дополнительные условия, чтобы оставить только два физически значимых поляризационных состояния гравитационных волн.

---

Гравитационные волны в линейном приближении

В вакууме линеаризованные уравнения сводятся к волновому уравнению для возмущения:

□h_μν = 0

Решения имеют форму плоских волн:

h_μν(x, t) = A_μνe^ik_αxα + c.c.,

где k_α — волновой вектор, удовлетворяющий k_αk^α = 0 (светоподобный вектор), а A_μν — тензор амплитуд.

Ключевые свойства гравитационных волн:

1. Скорость распространения: волны распространяются со скоростью света c.
2. Поляризация: в общей теории относительности существует две независимые поляризации, часто обозначаемые как + и ×.
3. Слабое взаимодействие с веществом: гравитационные волны чрезвычайно слабо взаимодействуют с материальными объектами, что делает их детекцию сложной.

---

Энергия и импульс гравитационных волн

Энергетика гравитационных волн описывается тензором энергии-импульса в линейном приближении, который, в отличие от обычного тензора Эйнштейна, можно ввести лишь аппроксимативно:

$$ t_{\mu\nu} = \frac{c^4}{32\pi G} \langle \partial_\mu h_{\alpha\beta} \, \partial_\nu h^{\alpha\beta} \rangle $$

Здесь скобки ⟨⋅⟩ обозначают усреднение по волновому периоду. Этот тензор позволяет оценить поток энергии, переносимый гравитационными волнами.

---

Применение линейного приближения

Линеаризованная теория широко используется для:

• Анализа излучения гравитационных волн от систем с малыми ускорениями (например, бинарные звезды вдалеке).
• Предсказания формы сигналов, регистрируемых детекторами LIGO и Virgo.
• Оценки взаимодействия гравитационных волн с окружающей средой.

Линеаризация является ключевым инструментом для понимания наблюдаемых эффектов гравитационных волн, не требуя полной нелинейной обработки уравнений Эйнштейна, которая крайне сложна для аналитического решения.