В задачах обнаружения гравитационных волн критически важно корректное представление сигнала и шума в количественной форме. Пусть s(t) — наблюдаемый сигнал детектора, который может быть представлен как сумма реального гравитационного сигнала h(t) и шума n(t):
s(t) = h(t) + n(t)
Здесь n(t) считается стохастическим процессом с известными статистическими свойствами. В наиболее общих подходах шум предполагается гауссовским, стационарным и белым на малых временных интервалах, что позволяет использовать спектральные методы анализа.
Спектральная плотность мощности шума Sn(f) определяется как
$$ \langle \tilde{n}(f)\tilde{n}^*(f')\rangle = \frac{1}{2} \delta(f-f') S_n(|f|) $$
где ñ(f) — преобразование Фурье шума, а δ(f − f′) — дельта-функция Дирака. Это ключевое уравнение позволяет формализовать оптимальное детектирование сигнала на фоне шума.
Согласованный фильтр (matched filter) является оптимальным линейным детектором для известного сигнала в гауссовском стационарном шуме. Выход фильтра z(t) определяется как свёртка наблюдаемого сигнала s(t) с функцией, пропорциональной конъюгированному сигнальному шаблону h(t) с весом, обратным спектральной плотности шума:
$$ z(t) = 4 \, \Re \int_0^\infty \frac{\tilde{s}(f)\tilde{h}^*(f)}{S_n(f)} e^{2\pi i f t} \, df $$
Ключевым моментом является то, что фильтр максимально усиливает частоты, где сигнал силен, а шум слаб.
Показатели эффективности фильтрации:
$$ \rho^2 = 4 \int_0^\infty \frac{|\tilde{h}(f)|^2}{S_n(f)} df $$
Эти показатели позволяют количественно сравнивать различные стратегии поиска сигналов.
В условиях неопределённости формы сигнала и характеристик шума применяются методы байесовского анализа. Для наблюдаемого временного ряда s(t) вероятность присутствия сигнала h(t; θ) с параметрами θ определяется как
$$ P(h|\mathbf{s}) = \frac{P(\mathbf{s}|h) P(h)}{P(\mathbf{s})} $$
где P(s|h) — функция правдоподобия, а P(h) — априорная вероятность. Байесовская методика позволяет не только оценивать наличие сигнала, но и получать распределения параметров системы источника — масс, спинов и расстояний, что критично для астрофизической интерпретации.
В практических задачах используется маргинализация по неизвестным параметрам шума, а интегралы оцениваются численными методами типа Монте-Карло.
Реальные детекторы не идеальны и накладывают на сигнал собственный отклик. Пусть ℛ(t) — функция отклика интерферометра. Тогда фактически регистрируемый сигнал:
sdet(t) = (ℛ * h)(t) + n(t)
В частотной области это соответствует умножению спектра сигнала на функцию отклика:
$$ \tilde{s}_{\text{det}}(f) = \tilde{\mathcal{R}}(f) \tilde{h}(f) + \tilde{n}(f) $$
Коррекция на отклик детектора является обязательным этапом для точного определения параметров источника.
Для повышения надёжности детекции используют сети детекторов. Основные преимущества:
Математически мультидетекторная обработка формулируется через обобщённый SNR:
$$ \rho_{\text{net}}^2 = \sum_{i=1}^{N} \rho_i^2 $$
где ρi — SNR в i-м детекторе.
Существует два основных подхода:
Современные алгоритмы часто комбинируют оба подхода, используя временно-частотные представления типа вейвлет-пакетов или синхронного детектирования.
Реальные шумовые процессы детекторов имеют нестирающиеся особенности:
Для борьбы с ними используют адаптивные фильтры, методы удаления артефактов и статистику устойчивых оценок. Например, медианный фильтр или robust-метрики снижают влияние отдельных выбросов на SNR.
Ключевое свойство алгоритмов поиска сигналов — их чувствительность к фазовым и временным задержкам:
Эти методы позволяют отбирать события для дальнейшего байесовского или частотного анализа.