Постньютоновские приближения

Постньютоновские приближения (ПНП) являются одним из ключевых методов в современной теоретической гравитационной физике для описания динамики систем, где поле гравитации относительно слабое, а скорости объектов значительно меньше скорости света, но при этом требуется учитывать релятивистские поправки. Эти приближения позволяют последовательно улучшать ньютоновскую модель гравитации, включая корректировки, которые становятся критически важными для точного моделирования источников гравитационных волн, таких как компактные двойные системы: бинарные нейтронные звёзды или черные дыры.

---

Основные принципы постньютоновских приближений

Постньютоновские приближения основаны на разложении метрики пространства-времени и уравнений Эйнштейна в ряд по малому параметру ϵ ∼ v/c, где v — характерная скорость движения тел в системе, а c — скорость света. В стандартной формулировке:

g_μν = η_μν + h_μν,  |h_μν| ≪ 1,

где η_μν — метрический тензор Минковского, h_μν — малое отклонение. Каждое последующее приближение учитывает члены более высокого порядка по (v/c)ⁿ.

Ключевые моменты:

• 0-й порядок — ньютоновская динамика (v/c → 0).
• 1-й порядок (1ПН) — учитывает релятивистские поправки, влияющие на силу притяжения, кинетику и излучение.
• 2-й и более высокие порядки (2ПН, 2.5ПН) вводят корректировки, связанные с радиационными эффектами и взаимодействием спинов.

---

Уравнения движения в постньютоновских приближениях

Для системы из N тел уравнения движения на 1ПН уровне могут быть представлены в виде расширенной ньютоновской силы:

a_i = a_i^Ньютон + a_i^1ПН,

где

$$ \mathbf{a}_i^\text{Ньютон} = -G \sum_{j \neq i} m_j \frac{\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j}{|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|^3}. $$

Коррекция первого порядка a_i^1ПН включает:

• релятивистские поправки к кинетической энергии;
• поправки к потенциалу взаимодействия между телами;
• кросс-термины, зависящие от скоростей и положений всех тел в системе.

Для двухкомпонентной системы с массами m₁ и m₂ ускорение тела m₁ на 1ПН уровне записывается как:

$$ \mathbf{a}_1^\text{1ПН} = \frac{G m_2}{c^2 r_{12}^2} \left[ \mathbf{r}_{12} \left(5 \frac{G m_1}{r_{12}} + 4 \frac{G m_2}{r_{12}} + v_1^2 + 2 v_2^2 - 4 \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 - \frac{3}{2} (\mathbf{n}_{12}\cdot \mathbf{v}_2)^2 \right) + (\mathbf{r}_{12} \cdot (4 \mathbf{v}_1 - 3 \mathbf{v}_2)) (\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2) \right], $$

где r₁₂ = r₁ − r₂, n₁₂ = r₁₂/r₁₂.

---

Энергетика и излучение гравитационных волн

Постньютоновские приближения позволяют последовательно учитывать радиационные потери энергии. На 2.5ПН уровне появляется термин, отвечающий за гравитационное излучение, что обеспечивает суждение о скорости сжатия орбиты бинарной системы. Поток энергии в виде гравитационных волн может быть выражен через тензор квадруполя Q_ij:

$$ \frac{dE}{dt} = -\frac{G}{5 c^5} \left\langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}_{ij} \right\rangle, $$

где тройное дифференцирование по времени обозначает третью производную, а скобки ⟨⋅⟩ — усреднение по циклу движения. Это даёт основу для точных моделей волновых форм, которые используются в анализе сигналов, зарегистрированных LIGO и Virgo.

---

Спиновое взаимодействие и высокопостньютоновские эффекты

При высоких порядках ПН приближений становятся значимыми:

• Взаимодействие спинов (spin-orbit и spin-spin), что приводит к прецессии орбит;
• Мультипольные эффекты более высокого порядка, учитывающие октупольные и гексадекупольные моменты;
• Гравитационный хвост — взаимодействие волн с искривлённым пространством, что ведёт к замедлению распространения сигнала и фазовым сдвигам.

Эти эффекты крайне важны для точного моделирования сигналов гравитационных волн при слиянии компактных объектов.

---

Математическая формализация

Постньютоновский подход строится на последовательном решении уравнений Эйнштейна в форме:

$$ G_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

где тензор энергии-импульса T_μν разлагается по скорости и плотности материи, а метрика g_μν расширяется в ряды:

g_μν = η_μν + h_μν⁽²⁾ + h_μν⁽⁴⁾ + h_μν⁽⁵⁾ + …

Порядок h_μν⁽²ⁿ⁾ соответствует n-ПН приближению. Каждое новое приближение требует вычисления всё более сложных интегралов по источникам и учёта взаимного влияния тел.

---

Применение постньютоновских приближений

1. Бинарные нейтронные звёзды и черные дыры: моделирование орбитальных фаз и предсказание формы гравитационного сигнала.
2. Слияние компактных объектов: подготовка шаблонов для поиска гравитационных волн.
3. Солнечная система: расчёт точных орбит планет и предсказание перицентровых прецессий.
4. Теоретические исследования: изучение влияния релятивистских поправок на стабильность и эволюцию систем.

Постньютоновские приближения остаются фундаментальным инструментом для аналитического и полуаналитического моделирования динамики в гравитационно-сильных системах и являются мостом между полной численной теорией относительности и наблюдаемыми сигналами гравитационных волн.