Преобразование Фурье является фундаментальным инструментом в анализе сигналов, в том числе и гравитационных волн. Оно позволяет разложить сложный сигнал во множество гармонических составляющих, каждая из которых характеризуется определённой частотой, амплитудой и фазой. Для функции h(t), зависящей от времени, прямое преобразование Фурье определяется как:
h̃(f) = ∫−∞∞h(t) e−2πift dt,
где h̃(f) — спектр сигнала, а f — частота. Обратное преобразование Фурье восстанавливает временной сигнал:
h(t) = ∫−∞∞h̃(f) e2πift df.
Ключевой момент: Преобразование Фурье обеспечивает переход между временной и частотной областями, что крайне важно для выявления характеристик гравитационных сигналов, скрытых в шуме.
В практических приложениях данные измеряются в дискретные моменты времени tn = nΔt, где Δt — интервал дискретизации, а n = 0, 1, …, N − 1. Дискретное преобразование Фурье записывается как:
$$ \tilde{h}_k = \sum_{n=0}^{N-1} h_n \, e^{-2 \pi i k n / N}, \quad k = 0, 1, \dots, N-1. $$
Здесь h̃k соответствует спектральной амплитуде на частоте fk = k/(NΔt). Быстрое вычисление ДПФ осуществляется с помощью алгоритма БПФ (быстрое преобразование Фурье), что позволяет эффективно анализировать длинные временные ряды сигналов.
Ключевой момент: ДПФ и БПФ являются основой для обработки реальных данных детекторов гравитационных волн, таких как LIGO и Virgo.
Для анализа сигналов с шумом широко используется спектральная плотность мощности (СПМ). Она показывает, как энергия сигнала распределена по частотам. Для дискретного сигнала СПМ определяется как:
$$ S_h(f_k) = \frac{2}{T} |\tilde{h}_k|^2, $$
где T = NΔt — длительность наблюдения. В случае стационарного случайного процесса СПМ позволяет оценивать уровень шума на разных частотах и выявлять слабые гравитационные сигналы.
Ключевой момент: Анализ по спектральной плотности мощности позволяет отделять реальные сигналы от фонового шума, особенно при поиске событий с малой амплитудой.
Для обнаружения гравитационных волн используют метод согласованной фильтрации (matched filtering). Этот метод основан на корреляции измеренного сигнала s(t) с теоретическим шаблоном h(t):
$$ \rho = \frac{\langle s | h \rangle}{\sqrt{\langle h | h \rangle}}, $$
где скалярное произведение определяется через спектральную плотность шума Sn(f):
$$ \langle a | b \rangle = 4 \, \Re \int_0^{\infty} \frac{\tilde{a}(f) \tilde{b}^*(f)}{S_n(f)} \, df. $$
Ключевой момент: Согласованная фильтрация позволяет извлекать слабые сигналы из шумного фона, используя заранее известные формы гравитационных волн, например, от слияния черных дыр или нейтронных звезд.
Для сигналов с переменной частотой, таких как “чирпы” от слияния компактных объектов, полезен временно-частотный анализ. Используются следующие методы:
Ключевой момент: Временно-частотные методы позволяют визуализировать динамику слияния объектов и выделять моменты максимальной энергии сигнала.
Ключевой момент: Понимание этих ограничений критично для корректного извлечения сигналов из экспериментальных данных.