Псевдориманова геометрия является фундаментальной математической основой общей теории относительности и, следовательно, описания гравитационных волн. В отличие от классической Римановой геометрии, где метрика положительно определена, в псевдоримановой геометрии метрика имеет сигнатуру (+, −, −, −) или (−, +, +, +), что отражает различие между временными и пространственными координатами. Это позволяет описывать кривизну пространства-времени с учетом временной компоненты, критически важной для динамики гравитационных полей.
Метрика gμν задаёт скалярное произведение в касательном пространстве и определяет интервал между событиями:
ds2 = gμνdxμdxν
где dxμ — дифференциалы координат, а gμν — компоненты метрического тензора. В псевдоримановой геометрии знак метрики различается для временной и пространственных компонент:
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2
Здесь c — скорость света, а t, x, y, z — координаты пространства-времени.
Ключевой момент: метрика не только определяет расстояния и интервалы, но и полностью описывает гравитационное поле.
Для описания движения частиц и распространения волн необходимо ввести понятие аффинной связности Γμνλ, которая обеспечивает параллельный перенос в кривом пространстве-времени:
∇μVν = ∂μVν + ΓμλνVλ
Связность связана с метрикой через условия совместимости:
∇λgμν = 0
Используя связность, можно определить тензор кривизны Римана:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ
Он характеризует локальную кривизну пространства-времени. Если R σμνρ = 0, пространство-время локально плоское.
Ключевой момент: кривизна Римана полностью описывает геометрические свойства пространства-времени, включая гравитационное взаимодействие.
Основой динамики пространства-времени служат уравнения поля Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
где:
Эти уравнения связывают геометрию пространства-времени с материей и энергией, обеспечивая динамическую основу для гравитационных волн.
Для исследования гравитационных волн применяют слабополевое приближение, когда метрический тензор рассматривается как небольшое отклонение от плоского пространства:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1
Здесь ημν — метрика Минковского. Линейная аппроксимация приводит к волновому уравнению для возмущений hμν:
$$ \square \bar{h}_{\mu\nu} = - \frac{16 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
где h̄μν — преобразованное возмущение (с использованием калибровки Лоренца), а ▫ — оператор Д’Аламбера:
$$ \square = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 $$
Ключевой момент: это волновое уравнение описывает распространение гравитационных волн со скоростью света.
Гравитационные волны имеют две независимые поляризации h+ и h×, которые соответствуют двум степеням свободы тензорного возмущения. В пространстве-времени Минковского волна, распространяющаяся вдоль оси z, может быть записана как:
$$ h_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h_+ & h_\times & 0 \\ 0 & h_\times & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cos(kz - \omega t) $$
Ключевой момент: такие волны растягивают и сжимают пространство перпендикулярно направлению распространения.
Энергия гравитационных волн выражается через тензор энергии-импульса волны в приближении слабого поля:
$$ t^{\mu\nu} \sim \frac{c^4}{32 \pi G} \langle \partial^\mu h_{\alpha\beta} \, \partial^\nu h^{\alpha\beta} \rangle $$
Где скобки ⟨⋅⟩ обозначают усреднение по волновому периоду. Эта энергия передается через пространство-время, вызывая наблюдаемые эффекты, например, колебания детекторов типа LIGO.
Псевдориманова геометрия позволяет понимать гравитационные волны как колебания кривизны пространства-времени, а не как распространение силы в традиционном смысле. Волны распространяются со скоростью света, и их влияние проявляется через изменение интервалов между свободно падающими объектами.
Ключевой момент: волны — это проявление динамики самой метрики, а не перенос энергии материи в классическом понимании.