Скалярно-тензорные теории

Скалярно-тензорные теории гравитации представляют собой обобщение общей теории относительности (ОТО), в которых гравитационное взаимодействие описывается не только метрическим тензором gμν, но и одним или несколькими скалярными полями ϕi. Эти теории позволяют учитывать дополнительные степени свободы, которые могут возникать, например, в рамках квантовых корректировок или при попытках объединения гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями.

Основная идея состоит в том, что гравитация передается через тензорное поле gμν, как в ОТО, а скалярное поле ϕ модифицирует эффективную гравитационную «постоянную» или вносит дополнительные динамические эффекты. Скалярные поля могут влиять на космологические решения, эволюцию Вселенной и свойства гравитационных волн.

Действие и вариационные принципы

Общее действие для скалярно-тензорной теории может быть записано в виде:

$$ S = \frac{1}{16\pi} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \phi R - \frac{\omega(\phi)}{\phi} (\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi) - V(\phi) \right] + S_m[g_{\mu\nu}, \Psi_m], $$

где:

  • R — скаляр Риччи, описывающий кривизну пространства-времени;
  • ϕ — скалярное поле;
  • ω(ϕ) — функция Брэйнджа–Дикке, определяющая кинетическую характеристику поля ϕ;
  • V(ϕ) — потенциал скалярного поля;
  • Sm — действие материи, которая взаимодействует только с метрикой gμν.

Вариация действия по gμν дает обобщенные уравнения Эйнштейна:

$$ \phi G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu} + \nabla_\mu \nabla_\nu \phi - g_{\mu\nu} \Box \phi + \frac{\omega(\phi)}{\phi} \left( \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \partial_\alpha \phi \partial^\alpha \phi \right) - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} V(\phi), $$

а вариация по скалярному полю ϕ приводит к уравнению движения скалярного поля:

$$ \Box \phi = \frac{1}{2\omega(\phi) + 3} \left( 8\pi T - \frac{d\omega}{d\phi} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \phi \frac{dV}{d\phi} - 2 V \right), $$

где □ = gμν∇μ∇ν — оператор Д’Аламбера, а T = Tμμ — след тензора энергии-импульса.

Линейная теория возмущений и гравитационные волны

Для анализа гравитационных волн в скалярно-тензорных теориях обычно рассматривают линейное приближение:

gμν = ημν + hμν,  ϕ = ϕ0 + δϕ,

где ημν — метрика Минковского, hμν — малые возмущения метрики, а δϕ — возмущение скалярного поля. В этом приближении уравнения движения разлагаются на уравнения для тензорных и скалярных компонент.

  • Тензорная компонента hμν удовлетворяет модифицированному уравнению волны с источником, зависящим от скалярного поля.
  • Скалярная компонента δϕ описывает дополнительный скалярный гравитационный радиационный мод, который может распространяться независимо от тензорной компоненты.

Таким образом, гравитационные волны в скалярно-тензорных теориях содержат два типа мод:

  1. Тензорные моды с двумя поляризациями (+, ×), как в ОТО.
  2. Скалярный мод (обычно продольный или дыхательный), характерный для данной теории.

Энергетика и поток гравитационной энергии

Энергетический поток гравитационных волн можно вычислить через псевдотензор энергии-импульса или через квадратичные по возмущениям величины. Для линейных возмущений:

$$ \frac{dE}{dtd\Omega} = r^2 \left\langle \frac{1}{32\pi} \dot{h}_{ij}^{TT} \dot{h}_{ij}^{TT} + \frac{\omega(\phi_0)}{16\pi \phi_0} \dot{\delta\phi}^2 \right\rangle, $$

где верхний индекс TT обозначает транспонсово-трассированную проекцию тензора, а угловые скобки ⟨⋅⟩ — усреднение по периоду колебаний. Видно, что скалярное поле вносит дополнительный вклад в излучение энергии.

Космологические последствия

Скалярно-тензорные теории оказывают существенное влияние на космологическую динамику:

  • Эволюция масштабного фактора изменяется из-за времени-зависимой эффективной гравитационной «постоянной» Geff ∼ 1/ϕ.
  • Процесс инфляции может быть дополнен скалярными полями, что ведет к формированию первичных гравитационных волн с характерными спектрами.
  • Скалярная компонента гравитационных волн может оставлять специфические сигнатуры в реликтовом излучении и в корреляциях B-моды в поляризации.

Примеры и ограничения

Теория Брэйнджа–Дикке — наиболее известный пример скалярно-тензорной теории, где ω(ϕ) = const и V(ϕ) = 0. В этом случае экспериментальные ограничения на параметр ω из наблюдений систем двойных пульсаров и Солнечной системы требуют ω ≳ 40, 000, что приближает теорию к ОТО.

Более сложные модели с потенциалом V(ϕ) используются в космологии для объяснения темной энергии и ускоренного расширения Вселенной.

Влияние на детектирование гравитационных волн

Скалярные моды гравитационных волн обладают отличными от тензорных характеристиками:

  • Они вызывают одноосное растяжение/сжатие, что отличается от поперечных деформаций тензорных мод.
  • Интерферометры типа LIGO и Virgo могут быть менее чувствительны к чисто скалярным модам, что требует специальных схем или многодетекторного анализа.
  • Скалярные моды могут влиять на скорость распространения волн, что открывает возможность тестирования скалярно-тензорных теорий через многомессенджерные наблюдения (гравитационные волны + электромагнитное излучение).

Таким образом, наблюдения гравитационных волн дают прямой инструмент для проверки скалярно-тензорных моделей и ограничения параметров скалярных полей.

Оглавление