Слабополевое приближение является фундаментальной концепцией в теории гравитационных волн, так как оно позволяет линейно аппроксимировать нелинейные уравнения Эйнштейна и получить аналитически управляемую модель волн, распространяющихся в пространстве-времени.
В слабополевом приближении предполагается, что метрика пространства-времени может быть представлена как малое возмущение на фоне плоской метрики Минковского:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1,
где ημν — метрика Минковского с компонентами diag(−1, 1, 1, 1), а hμν — малая поправка, описывающая гравитационное возмущение.
В этой аппроксимации нелинейные члены уравнений Эйнштейна становятся второго порядка по hμν и могут быть пренебрежены, что позволяет перейти к линейной теории гравитационных волн.
Подставляя gμν = ημν + hμν в уравнения Эйнштейна
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
и сохраняя только линейные члены по hμν, получаем линейные уравнения для возмущения:
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где □ — оператор Д’Аламбера в плоском пространстве-времени, а h̄μν — приведённое возмущение, связанное с hμν соотношением
$$ \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h, \quad h = h^\alpha_{\;\alpha}. $$
Эта форма уравнения особенно удобна, поскольку в вакууме (Tμν = 0) оно сводится к волновому уравнению:
□h̄μν = 0,
что явно демонстрирует наличие волн в линейной аппроксимации.
Для упрощения решения уравнений вводят калибровку Лоренца:
∂νh̄μν = 0.
Эта калибровка устраняет избыточные степени свободы, оставляя только физически наблюдаемые компоненты гравитационной волны.
В вакууме гравитационные волны имеют две поперечные поляризации, обозначаемые как + и ×. Они характеризуются матрицей возмущений в координатах волны, движущейся, например, вдоль оси z:
$$ h_{\mu\nu}^{TT} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & h_+ & h_\times & 0\\ 0 & h_\times & -h_+ & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$
Эта форма соответствует трансверсально-трассевому (TT) калибровочному условию, которое выделяет реальные физические компоненты волны, отвечающие за растяжение и сжатие пространства в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.
В слабополевом приближении амплитуда гравитационной волны, создаваемой системой масс Tμν, выражается через квадрупольный момент массы:
$$ h_{ij}^{TT} (t, \mathbf{x}) = \frac{2G}{c^4 r} \frac{d^2}{dt^2} Q_{ij}^{TT}(t - r/c), $$
где Qij — квадрупольный тензор системы:
$$ Q_{ij} = \int \rho(\mathbf{x}) \left(x_i x_j - \frac{1}{3} \delta_{ij} r^2 \right) d^3 x, $$
а r — расстояние до наблюдателя.
Ключевой момент: только меняющийся во времени квадрупольный момент производит излучение; монопольные и дипольные изменения массы не создают гравитационных волн в рамках общей теории относительности.
Энергия, переносимая гравитационной волной, может быть выражена через квадрупольный момент:
$$ \frac{dE}{dt} = \frac{G}{5c^5} \left\langle \frac{d^3 Q_{ij}}{dt^3} \frac{d^3 Q^{ij}}{dt^3} \right\rangle, $$
где угловые скобки означают усреднение по циклу колебаний. Это выражение играет ключевую роль при анализе потери энергии двойными звёздными системами, таких как пульсар PSR B1913+16, где наблюдаемое замедление орбитального движения подтверждает теорию гравитационного излучения.
Слабополевое приближение является основой для:
Важность слабополевого приближения заключается в том, что оно превращает сложную нелинейную задачу в линейную теорию волн, позволяя точно прогнозировать наблюдаемые эффекты, что было экспериментально подтверждено детекцией гравитационных волн слияний черных дыр и нейтронных звезд.