Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана является фундаментальным объектом в общей теории относительности и играет ключевую роль в описании гравитационных волн. Он характеризует геометрию пространства-времени и локальное искривление метрики. Формально, тензор кривизны Римана определяется через соединение Леви-Чивиты Γ_μν^ρ следующим образом:

R _σμν^ρ = ∂_μΓ_νσ^ρ − ∂_νΓ_μσ^ρ + Γ_μλ^ρΓ_νσ^λ − Γ_νλ^ρΓ_μσ^λ.

Этот тензор содержит всю информацию о кривизне пространства-времени и его влиянии на движение тестовых частиц и распространение света. Он является четвертым порядком и имеет симметричные свойства:

1. Антисимметрия по последним двум индексам:

R _σμν^ρ = −R _σνμ^ρ

2. Симметрия в первых двух индексах при полной редукции:

R_ρσμν = −R_σρμν = −R_ρσνμ = R_μνρσ

3. Тождество Бьянки (First Bianchi Identity):

R _σμν^ρ + R _μνσ^ρ + R _νσμ^ρ = 0

Эти симметрии существенно упрощают вычисления и служат основой для вывода уравнений Эйнштейна.

---

Связь тензора Римана с гравитационными волнами

Гравитационные волны — это колебания кривизны пространства-времени, распространяющиеся со скоростью света. В слабополюсном приближении, когда метрика пространства-времени описывается как

g_μν = η_μν + h_μν,  |h_μν| ≪ 1,

тензор кривизны Римана линейно выражается через вторые производные малых возмущений h_μν:

$$ R_{\mu\nu\rho\sigma} \approx \frac{1}{2} \left( \partial_\rho \partial_\nu h_{\mu\sigma} + \partial_\sigma \partial_\mu h_{\nu\rho} - \partial_\sigma \partial_\nu h_{\mu\rho} - \partial_\rho \partial_\mu h_{\nu\sigma} \right) $$

В этом приближении видно, что гравитационные волны непосредственно связаны с компонентами тензора Римана. Наличие волн проявляется через осцилляции этих компонент в пространстве-времени.

---

Варианты сокращений тензора Римана

Для практических задач часто используют тензор Риччи R_μν и скалярную кривизну R, получаемые из тензора Римана:

R_μν = R _μλν^λ,  R = g^μνR_μν

Эти объекты входят в уравнения Эйнштейна в виде:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

В контексте гравитационных волн, когда T_μν ≈ 0 (вакуумное пространство), уравнения упрощаются до

R_μν = 0

что позволяет описывать распространение волн в вакууме как колебания метрики с сохранением симметрий.

---

Тензор Римана и геодезическое отклонение

Тензор кривизны Римана имеет физическую интерпретацию через отклонение геодезических линий. Для двух бесконечно близких частиц с вектором разделения ξ^μ уравнение геодезического отклонения имеет вид:

$$ \frac{D^2 \xi^\mu}{d\tau^2} = - R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu \xi^\rho u^\sigma $$

где u^ν — четырехскорость частиц. Для гравитационных волн это уравнение описывает колебания расстояний между свободно плавающими детекторами, что является основой работы интерферометров LIGO и VIRGO.

---

Примеры компонент тензора Римана для плоской волны

Рассмотрим плоскую гравитационную волну, распространяющуюся вдоль оси z. В поперечной-транверсальной (TT) калибровке, ненулевые компоненты метрики h_μν^TT выражаются через поляризации h₊ и h_×:

h_xx = −h_yy = h₊(t − z/c),  h_xy = h_yx = h_×(t − z/c)

Тогда ключевые компоненты тензора Римана:

$$ R_{0x0x} = - R_{0y0y} = -\frac{1}{2} \frac{\partial^2 h_+}{\partial t^2}, \quad R_{0x0y} = -\frac{1}{2} \frac{\partial^2 h_\times}{\partial t^2} $$

Эти компоненты описывают фактическое ускорение тестовых частиц под действием гравитационной волны, что измеряется экспериментально.