Уравнения поля Эйнштейна

Уравнения поля Эйнштейна представляют собой фундаментальный инструмент в общей теории относительности (ОТО), описывающий, как вещество и энергия определяют геометрию пространства-времени. В их традиционной форме они записываются как:

$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$

где:

  • $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$ — тензор Эйнштейна, выражающий кривизну пространства-времени;
  • Rμν — тензор Римана-Риччи, описывающий локальные искривления;
  • R — скаляр кривизны Риччи;
  • gμν — метрический тензор пространства-времени;
  • Λ — космологическая постоянная;
  • Tμν — тензор энергии-импульса, характеризующий распределение материи и энергии;
  • G — гравитационная постоянная, c — скорость света в вакууме.

Эти уравнения связывают геометрию пространства-времени с материей, которая его заполняет, и служат основой для анализа гравитационных волн.

Линейная аппроксимация и возмущения метрики

Для изучения гравитационных волн применяют линейное приближение, предполагая, что метрический тензор отличается от плоского метрика Минковского ημν лишь небольшим возмущением hμν:

gμν = ημν + hμν,  |hμν| ≪ 1.

В этом случае уравнения Эйнштейна в вакууме (Tμν = 0) упрощаются до волнового вида:

□h̄μν = 0,

где □ — оператор д’Аламбера, а h̄μν — возмущение в приведенной к гармоническому виду форме:

$$ \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h, \quad h = \eta^{\alpha\beta} h_{\alpha\beta}. $$

Это уравнение демонстрирует, что малые возмущения метрики распространяются как волны со скоростью света, что и является физическим проявлением гравитационных волн.

Связь с источниками: тензор энергии-импульса

Когда в рассмотрение вводится материя или излучение, линейная аппроксимация принимает вид:

$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$

Это уравнение показывает, что гравитационные волны излучаются динамическими массами и движущимися объектами. Основным источником на астрофизических масштабах являются системы с переменной квадрупольной моментой, например, двойные нейтронные звезды или черные дыры.

Ключевой момент:

  • Монопольная и дипольная компоненты излучения в ОТО отсутствуют из-за сохранения энергии и импульса, что делает квадрупольный момент основным генератором гравитационных волн.

Квадрупольная формула излучения

Для слабого поля и на больших расстояниях от источника интенсивность гравитационного излучения описывается квадрупольной формулой:

$$ h_{ij}^{TT} (t, \mathbf{x}) = \frac{2G}{c^4 r} \frac{d^2}{dt^2} Q_{ij}^{TT}(t - r/c), $$

где:

  • Qij — квадрупольный момент массы источника;
  • TT — проекция на поперечно-траекторную (transverse-traceless) компоненту;
  • r — расстояние до наблюдателя.

Эта формула лежит в основе прогнозирования сигналов для детекторов гравитационных волн, таких как LIGO и Virgo.

Симметрия и калибровка

Для упрощения уравнений и выделения физических степеней свободы вводят калибровку гармонических координат:

∂νh̄μν = 0.

Это позволяет исключить несущественные компоненты возмущений и сосредоточиться на двух независимых поляризациях гравитационных волн h+ и h×.

Ключевой момент:

  • Гравитационные волны — это поперечные волны с двумя степенями свободы, вращение координат не приводит к появлению новых поляризаций.

Уравнения Эйнштейна и черные дыры

Уравнения поля Эйнштейна также описывают динамику сильных гравитационных полей, например, при слиянии черных дыр. В этих случаях линейная аппроксимация не применима, и необходимо решать нелинейные уравнения численно. Современные численные методы решают их для предсказания формы волнового сигнала (гравитационной волновой «шаблонной» формы), который затем сравнивают с данными детекторов.

Влияние космологической постоянной

Космологическая постоянная Λ в уравнениях Эйнштейна вносит дополнительные поправки, которые на больших масштабах могут влиять на распространение гравитационных волн, приводя к слабому изменению их амплитуды и фазовой скорости. На локальных астрофизических масштабах это влияние практически несущественно, но для космологических дистанций его необходимо учитывать при анализе сигналов от далёких источников.

Оглавление