Гравитационные волны в общей теории относительности описываются как малые возмущения метрического тензора на фоне искомого решения уравнений Эйнштейна. Пусть gμν — метрика пространства-времени. Рассмотрим её разложение на фоновую метрику ημν (плоский Минковский-метрический фон) и малое возмущение hμν:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1.
Такое разложение позволяет перейти к слабополевому приближению, при котором квадратичные и более высокие по hμν члены можно пренебречь. Основная цель — получить линейные уравнения для hμν, описывающие распространение возмущений.
Полные уравнения Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
при разложении gμν = ημν + hμν и удержании только линейных членов в hμν дают линеаризованные уравнения поля:
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где □ = ηαβ∂α∂β — оператор Д’Аламбера в плоском пространстве-времени, а h̄μν — тензор с приведённой формой:
$$ \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h, \quad h = h^\alpha_\alpha. $$
Линеаризованные уравнения обладают калибровочной инвариантностью: можно выполнять трансформации вида
hμν → h′μν = hμν − ∂μξν − ∂νξμ,
не меняя физическое содержание. Это напоминает калибровочную свободу в электродинамике. Часто используют гармоническую калибровку:
∂νh̄μν = 0,
которая упрощает уравнения до чистой формы волнового уравнения:
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$
Для свободного вакуума (Tμν = 0) это принимает вид волнового уравнения для метрических возмущений:
□h̄μν = 0.
Для вакуума решения принимают форму плоских волн:
h̄μν(x, t) = Aμνeikαxα + c.c.,
где kα — волновой вектор, Aμν — амплитудный тензор, и выполняются условия:
Таким образом, волна имеет только две физические поляризации, обычно обозначаемые как h+ и h×.
В пространстве-времени с плоской метрикой и волной, распространяющейся вдоль оси z, матрица возмущения принимает вид:
$$ h_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h_+ & h_\times & 0 \\ 0 & h_\times & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$
Это подчёркивает, что гравитационные волны являются трансверсальными и безмассовыми, влияя только на поперечные к направлению распространения координаты.
Для слабого поля можно ввести тензор энергии-импульса гравитационного поля в форме:
$$ t_{\mu\nu} = \frac{c^4}{32 \pi G} \langle \partial_\mu h_{\alpha\beta} \partial_\nu h^{\alpha\beta} \rangle, $$
где угловые скобки обозначают усреднение по нескольким длинам волн. Это позволяет вычислять энергетический поток и давление гравитационных волн, что является ключевым для анализа излучения от астрофизических источников.