Гравитационные волны (ГВ) представляют собой возмущения метрики пространства-времени, распространяющиеся со скоростью света. Рассмотрим слабое поле, когда метрика может быть записана в виде:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1,
где ημν — метрика Минковского, hμν — малое возмущение, описывающее гравитационную волну. В этом приближении движение пробных масс определяется уравнением геодезической линии:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0, $$
где Γαβμ — символы Кристоффеля, зависящие от возмущений hμν.
Для пробных масс, покоящихся в отсутствии волн, отклонение от начальной позиции определяется через тензор геодезического отклонения:
$$ \frac{D^2 \xi^i}{D t^2} = - R^i_{\ 0 j 0} \, \xi^j, $$
где ξi — вектор отклонения между соседними массами, а R 0j0i — компоненты тензора Римана, связанного с возмущением hμν.
Гравитационные волны обладают двумя независимыми модами поляризации в вакууме: h+ и h×. Для волны, распространяющейся вдоль оси z, возмущение метрики в поперечной-трассевом (TT) калибре имеет вид:
$$ h_{ij}^{TT}(t, z) = \begin{pmatrix} h_+(t-z/c) & h_\times(t-z/c) & 0 \\ h_\times(t-z/c) & -h_+(t-z/c) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$
Эта форма позволяет непосредственно вычислить деформации решетки пробных масс, например, в интерферометре типа LIGO или Virgo. Для массива масс, расположенных в плоскости xy, линейное воздействие проявляется как периодическое растяжение и сжатие в направлениях, соответствующих поляризации волны.
Для массы m, находящейся на расстоянии ξ0 от центра системы отсчета, смещение под действием волны определяется как:
$$ \Delta \xi(t) = \frac{1}{2} h(t) \, \xi_0, $$
где h(t) — амплитуда волны (например, h+ или h×). При h ∼ 10−21 и ξ0 ∼ 1 м смещение составит порядка 10−21 м, что демонстрирует экстремальную малость эффекта и сложность его детектирования.
Если рассматривать массив пробных масс в виде механического или оптического резонатора, влияние волны может усиливаться за счет резонансного накопления энергии. В частном случае гармонической волны:
h(t) = h0cos (ωt),
уравнение геодезического отклонения становится уравнением гармонического осциллятора с периодической внешней силой:
$$ \ddot{\xi}^i + \omega_0^2 \xi^i = - R^i_{\ 0 j 0}(t) \, \xi^j. $$
Резонанс возникает при совпадении собственной частоты системы ω0 с частотой волны ω, что потенциально может привести к увеличению амплитуды колебаний, хотя в реальных условиях детекторов подобные эффекты ограничены демпфированием.
Гравитационные волны несут энергию и импульс, которая, однако, не проявляется через традиционное «силовое» воздействие на локальные массы. Энергия ГВ в слабом поле описывается тензором энергии-импульса гравитационной волны:
$$ t_{\mu\nu} = \frac{c^4}{32\pi G} \langle \partial_\mu h_{ij}^{TT} \, \partial_\nu h^{ij}_{TT} \rangle, $$
где усреднение проводится по периоду волны. Эта энергия может быть измерена косвенно через эффект на резонансные детекторы или интерферометры.
Для систем из большого числа пробных масс гравитационные волны вызывают координированные деформации, формирующие закономерные паттерны:
Эти эффекты лежат в основе метода интерферометрического детектирования ГВ, где изменение относительных расстояний между зеркалами фиксируется с точностью до долей диаметра протона.
Для численного анализа движения пробных масс под воздействием ГВ удобно использовать систему координат TT. В этих координатах пробные массы, расположенные в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны, не испытывают ускорения вдоль направления волны, а поперечные координаты изменяются согласно:
$$ \frac{d^2 \xi_x}{dt^2} = \frac{1}{2} \ddot{h}_+ \, \xi_x + \frac{1}{2} \ddot{h}_\times \, \xi_y, \quad \frac{d^2 \xi_y}{dt^2} = \frac{1}{2} \ddot{h}_\times \, \xi_x - \frac{1}{2} \ddot{h}_+ \, \xi_y. $$
Это позволяет создавать численные симуляции траекторий пробных масс, что важно при проектировании и калибровке интерферометров и резонансных детекторов.