В теории динамических систем аттрактором называют множество состояний, к которому со временем стремятся траектории системы из широкого класса начальных условий. Аттракторы являются фундаментальными объектами описания долгосрочной динамики, особенно в диссипативных системах, где вследствие потерь энергии объём фазового пространства сжимается, и траектории “оседают” на структуры меньшей размерности.
Различают несколько основных типов аттракторов:
В диссипативных системах ключевым свойством аттракторов является то, что они обладают конечной (часто существенно меньшей) размерностью по сравнению с полным фазовым пространством.
Для гамильтоновых (консервативных) систем характерно сохранение объёма в фазовом пространстве (теорема Лиувилля). В отличие от этого, диссипативные системы подвержены сжатию фазового объёма: любое множество начальных условий, эволюционируя, занимает всё меньшее подмножество фазового пространства. В пределе это множество вырождается в аттрактор.
Фазовые портреты позволяют наглядно видеть тип аттрактора. Для простых систем, например маятника с трением, фазовая траектория спирально стремится к точке равновесия — точечному аттрактору. В случае генераторов с нелинейными обратными связями формируются сложные траектории, соответствующие странным аттракторам.
Стационарные аттракторы — устойчивые фиксированные точки. Пример: затухающий гармонический осциллятор, в котором после переходных процессов все траектории приходят в состояние покоя.
Периодические аттракторы — предельные циклы. В системах с постоянным источником энергии и диссипацией устанавливается периодическая динамика. Классическим примером является автогенератор с нелинейным элементом, где баланс притока и диссипации энергии приводит к устойчивым колебаниям.
Квазипериодические аттракторы — инвариантные торы. Здесь траектории на фазовой поверхности заполняют двумерный тор квазипериодически. Такая динамика возникает, например, в механических системах с двумя несоизмеримыми частотами возбуждения.
Странные аттракторы. Наиболее интересный и характерный тип для теории хаоса. Они обладают фрактальной структурой, дробной (нецелой) размерностью и демонстрируют экспоненциальную чувствительность к начальным условиям. Известные примеры: аттрактор Лоренца, аттрактор Рёсслера, аттрактор Хенона.
Размерность аттрактора. В отличие от обычных геометрических объектов, аттракторы могут иметь дробную размерность (фрактальная размерность). Это позволяет количественно описывать их сложность. Для её вычисления применяются методы типа размерности Хаусдорфа или корреляционной размерности.
Показатели Ляпунова. Для характеристики хаоса и природы аттрактора используют спектр показателей Ляпунова, описывающий скорость расхождения близких траекторий. Положительное значение максимального показателя Ляпунова указывает на наличие хаоса и странного аттрактора.
Бассейны притяжения. Аттрактору соответствует область фазового пространства, из которой исходные условия эволюционируют к нему. Бассейны могут обладать фрактальной границей, что означает высокую чувствительность исхода динамики к начальным условиям.
Аттракторы диссипативных систем встречаются в самых разных разделах физики:
Особое место занимают странные аттракторы, обладающие фрактальной структурой. Их геометрия не может быть описана в терминах целых размерностей. Фазовые траектории на таких аттракторах никогда не повторяются, но и не заполняют всё пространство равномерно. Это создает уникальный баланс между порядком и хаосом.
Фрактальные свойства аттракторов имеют прямое отношение к наблюдаемым в природе процессам: турбулентность, переход к хаосу в конвективных течениях, биологические ритмы, электрохимические колебания.
В диссипативных системах при изменении управляющих параметров часто наблюдаются бифуркации, которые переводят систему от простых аттракторов к более сложным:
Эти сценарии носят универсальный характер и наблюдаются в самых разных физических моделях.