Диффузионно-лимитированная агрегация

Диффузионно-лимитированная агрегация (Diffusion-Limited Aggregation, DLA) представляет собой один из ключевых процессов, лежащих в основе формирования сложных фрактальных структур в физике. Она была предложена Т. Виттеном и Л. Сандером в 1981 году как простая модель самоорганизованного роста кластеров, но впоследствии получила широкое применение в различных областях науки — от физики конденсированных сред до биологии и геофизики.

Суть модели заключается в том, что частицы, совершающие случайное блуждание (Броуновское движение), прикрепляются к уже имеющемуся кластеру при первом контакте с ним. В результате формируется разветвлённая структура, обладающая свойствами фрактала, включая самоподобие и нетривиальную размерность.

Основные механизмы формирования

  1. Диффузия частиц. Частицы перемещаются в пространстве случайным образом. В двумерном случае их траектория моделируется как последовательность шагов в случайных направлениях, а в трёхмерном — как случайное блуждание в объёме.

  2. Агрегация. Как только частица достигает границы кластера, она прилипает к нему, и её движение прекращается. Кластер увеличивается на одну частицу.

  3. Фрактальная структура. При многократном повторении процесса формируется структура с длинными ветвями, напоминающими дендриты, молнии или ветвление рек. Характерной особенностью является то, что рост происходит в первую очередь на выступающих концах, поскольку именно они с большей вероятностью встречают новые частицы.

Математическая формализация

Модель DLA можно описать на основе случайных блужданий и вероятностных функций:

  • Пусть кластер состоит из множества точек {ri}.
  • Частица начинает блуждание на некотором расстоянии R0 от центра кластера.
  • Её траектория описывается как марковский процесс:

r(t + 1) = r(t) + Δr(t),

где Δr(t) — случайный шаг.

  • Вероятность присоединения определяется условием первого достижения границы кластера:

P(r → ri) = 1,  если r касается кластера.

Фрактальная размерность получающихся структур экспериментально и численно определяется в диапазоне:

  • для двумерных кластеров D ≈ 1.70,
  • для трёхмерных кластеров D ≈ 2.50.

Физические аналоги DLA

Механизмы диффузионно-лимитированной агрегации находят отражение в реальных процессах природы:

  • Рост дендритов в кристаллизации. При охлаждении переохлаждённых жидкостей кристаллы формируют разветвлённые структуры, напоминающие DLA-кластеры.
  • Электрические разряды. Молнии и коронные разряды имеют характерное фрактальное ветвление, что хорошо моделируется DLA.
  • Отложения примесей. В электроосаждении и росте отложений из раствора формируются структуры, аналогичные DLA.
  • Геофизические процессы. Речные сети, эрозия почвы и образование пористых сред также могут быть описаны на основе принципов диффузионной агрегации.

Фрактальная размерность и методы измерения

Для анализа структуры кластеров DLA используют методы вычисления размерности:

  • Метод ячеек (box-counting). Кластер помещается в сетку с размером ячейки ϵ, и считается число занятых ячеек N(ϵ). Размерность определяется как:

$$ D = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\ln N(\epsilon)}{\ln (1/\epsilon)}. $$

  • Корреляционная размерность. Исследуется вероятность того, что две частицы находятся на расстоянии меньше r, и вычисляется показатель масштабирования.

Эти методы позволяют количественно подтвердить фрактальный характер DLA и оценить степень ветвления структуры.

Связь с теорией хаоса

Хотя рост кластера определяется простыми правилами, результат имеет хаотический и непредсказуемый характер. Малые изменения начальных условий (например, положение первых частиц) могут привести к совершенно различным глобальным формам кластера. Этот эффект аналогичен чувствительной зависимости от начальных условий в динамике хаотических систем.

Кроме того, геометрия DLA демонстрирует свойства мультифрактальности. В разных областях кластера показатели локальной плотности и меры распределяются неравномерно, что требует использования спектра размерностей Реньи для полного описания.

Численные методы моделирования

Моделирование DLA осуществляется в компьютерных экспериментах. Классический алгоритм:

  1. Инициализация кластера с одной фиксированной частицей.
  2. Запуск новой частицы на границе круга радиуса R0.
  3. Моделирование случайного блуждания частицы.
  4. Проверка касания кластера. Если да — присоединение частицы.
  5. Повторение цикла до формирования кластера заданного размера.

Для ускорения расчётов используют:

  • ограничение области блуждания частиц,
  • методы симметрии,
  • параллельные вычисления,
  • модифицированные модели (например, «ballistic aggregation», когда частицы движутся по прямым линиям).

Вариации и обобщения

Существует несколько модификаций модели DLA, позволяющих описывать более широкий круг явлений:

  • Электроосаждение. В модели учитывается поле электрического потенциала, направляющее движение частиц.
  • Турбулентные среды. Вместо случайного блуждания частицы движутся по траекториям, искажённым турбулентностью.
  • Агрегация с экранированием. Частицы могут не всегда прилипать к кластеру, а только с определённой вероятностью.

Такие обобщения позволяют приблизить модель к реальным физическим процессам, сохраняя при этом её фрактальные свойства.

Оглавление