В физике хаоса и фракталов одним из центральных вопросов является количественное определение размерности сложных множеств, возникающих в динамических системах. Размерность служит универсальной мерой сложности и описывает распределение точек в фазовом пространстве, отражая, насколько сильно система отличается от регулярного, гладкого многообразия. При этом важнейшей задачей оказывается разработка и применение экспериментальных методов, позволяющих извлекать численные значения размерности из наблюдаемых данных, которые, как правило, представляют собой конечные ряды измерений или временные траектории.
Основные методы измерения размерности можно разделить на несколько классов:
Каждый из этих подходов имеет как преимущества, так и ограничения, связанные с точностью измерений, шумом данных, конечностью выборки и размерностью исследуемого объекта.
Наиболее распространённым экспериментальным методом является метод ячеечного покрытия. Его идея заключается в том, чтобы покрыть множество равномерной сеткой кубов (или квадратов в двумерном случае) с размером стороны ε и подсчитать количество ячеек N(ε), в которых содержатся точки множества.
Размерность подобия (или размерность Бокс-каунтинг) вычисляется по формуле:
$$ D = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln(1/\varepsilon)}. $$
В реальном эксперименте предел не достигается, и используют линейную аппроксимацию на конечном интервале ε. Для этого строят график ln N(ε) в зависимости от ln (1/ε) и определяют наклон линейного участка.
Преимущества метода:
Недостатки:
Для временных рядов и динамических траекторий особенно важен метод корреляционной размерности. Он основан на вычислении корреляционной суммы:
$$ C(r) = \frac{2}{N(N-1)} \sum_{i<j} \Theta(r - |x_i - x_j|), $$
где Θ — функция Хевисайда, а xi — точки траектории в фазовом пространстве. Эта сумма показывает вероятность того, что две случайно выбранные точки находятся на расстоянии меньше r.
Корреляционная размерность определяется как:
$$ D_2 = \lim_{r \to 0} \frac{\ln C(r)}{\ln r}. $$
На практике строят график ln C(r) от ln r и выделяют линейный участок.
Этот метод особенно популярен в анализе хаотических временных рядов, например, в экспериментах по турбулентности, биофизике, электронике. Он менее чувствителен к шуму, чем box-counting, но требует большого объёма данных.
В случае, когда распределение точек неравномерно, используют информационную размерность. Экспериментально её вычисляют следующим образом:
I(ε) = −∑ipi(ε)ln pi(ε);
$$ D_1 = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{I(\varepsilon)}{\ln(1/\varepsilon)}. $$
Такой подход хорошо работает для систем с выраженной неравномерностью распределения траекторий, например, для аттракторов с областями разной плотности заполнения.
Для более детального описания хаотических структур применяется мультифрактальный анализ, который учитывает спектр обобщённых размерностей Реньи Dq.
Процедура:
χq(ε) = ∑ipiq.
$$ D_q = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{q-1} \frac{\ln \chi_q(\varepsilon)}{\ln \varepsilon}. $$
Экспериментально часто ограничиваются диапазоном q ∈ [−10, 10], чтобы охватить как редкие, так и наиболее густые области распределения. Такой анализ позволяет выявить сложную структуру аттракторов и выявить «спектр сингулярностей».
При экспериментальном исследовании хаоса часто доступны лишь скалярные временные ряды, например, измерения давления, напряжения или магнитного потока. Для восстановления многомерной динамики применяется метод задержек (delay embedding).
Пусть наблюдается сигнал x(t). Тогда векторное пространство строится по схеме:
X(t) = {x(t), x(t + τ), x(t + 2τ), …, x(t + (m − 1)τ)},
где τ — временная задержка, m — размерность вложения. После реконструкции фазового пространства можно применять методы box-counting, корреляционной размерности и мультифрактального анализа.
Выбор параметров τ и m является критическим. На практике используют автокорреляционную функцию или взаимную информацию для выбора оптимальной задержки, а также теорему Такенса для оценки минимальной размерности вложения.