Фракталы играют исключительно важную роль в физике твёрдого тела, поскольку многие реальные материалы обладают нерегулярной, самоорганизованной структурой, которая не поддаётся традиционным методам описания через гладкую геометрию. Хаотические процессы роста, неравновесные фазовые переходы и процессы переноса в твёрдом теле зачастую ведут к образованию структур с фрактальными свойствами. Эти структуры определяют электропроводность, теплопроводность, механическую прочность и многие другие физические характеристики материала.
Одним из первых направлений применения фракталов в твёрдом теле стало описание поверхностей и пористых сред. Поверхность реального кристалла или поликристаллического материала никогда не является идеально гладкой: на ней присутствуют шероховатости, трещины и дефекты на самых разных масштабах. Эти неоднородности обладают свойством самоподобия: при увеличении масштаба наблюдаются схожие формы неровностей.
Фрактальная размерность поверхности позволяет количественно описывать её «шероховатость». Например, если у идеальной двумерной поверхности размерность равна 2, то у шероховатой фрактальной поверхности она будет находиться между 2 и 3. Это напрямую влияет на процессы:
Рост кристаллов в неравновесных условиях часто приводит к появлению дендритных структур, обладающих фрактальной природой. Классическим примером является диффузионно-лимитированная агрегация (DLA), когда частицы, диффундируя в среде, осаждаются на растущий кластер. Результат — разветвлённые структуры с размерностью порядка 1.7–1.8, сильно отличающиеся от регулярной кристаллической решётки.
В металлах и полупроводниках дендритный рост часто наблюдается при быстром охлаждении расплавов. В таких условиях формируется сеть фрактальных дендритов, определяющих проводимость и механические свойства материала. Подобные структуры изучаются с применением моделей компьютерного моделирования, основанных на уравнениях Лапласа и стохастических процессах.
Разрушение твёрдого тела редко приводит к образованию гладкой плоскости излома. Экспериментально установлено, что поверхность разрушения имеет фрактальную морфологию, характеризующуюся фрактальной размерностью около 2.2–2.6.
Это объясняется каскадным характером распространения трещин: на макроскопическом уровне они ветвятся, а на микроскопическом возникают локальные разрывы связей, которые в совокупности формируют фрактальную поверхность.
Фрактальная механика разрушения позволяет объяснять:
Перколяционные процессы являются одним из наиболее ярких примеров проявления фрактальной структуры в физике твёрдого тела. В неоднородных системах (композитах, пористых материалах, полупроводниках с примесями) перенос зарядов или тепла зависит от существования непрерывных проводящих кластеров.
При концентрации проводящих элементов ниже критической система непроводящая, выше критической — образуется бесконечный кластер. Граница этого фазового перехода описывается перколяционной теорией, в которой кластеры проводящих элементов имеют фрактальные свойства. Их размерность меньше размерности пространства, и именно это влияет на универсальные показатели критического поведения.
В магнитных материалах при переходах между упорядоченным и хаотическим состоянием (например, при фазовом переходе в модели Изинга) возникают фрактальные доменные структуры. Границы доменов обладают самоподобием, а распределение размеров кластеров спинов подчиняется степенным законам.
Особенно интересны так называемые спиновые стекла, где беспорядок и фрустрация приводят к хаотическим распределениям ориентаций спинов. Их энергетический ландшафт можно описывать в терминах фрактальной размерности фазового пространства состояний.
В системах с беспорядком (например, в аморфных полупроводниках или сильно легированных кристаллах) движение электронов подчиняется законам андерсоновской локализации. Приближение к локализационному переходу сопровождается формированием фрактальных электронных состояний. Волновая функция электрона не является равномерно распределённой, а имеет сложную фрактальную структуру, что отражается на проводимости.
Мультифрактальный анализ волновых функций используется для описания критической точки перехода от локализованного к делокализованному состоянию. Это направление активно развивается в физике конденсированных сред и теории квантового хаоса.
В высокотемпературных сверхпроводниках наблюдаются фрактальные распределения токов и магнитных вихрей. В частности, распределение вихревых решёток в условиях сильных флуктуаций и примесного беспорядка часто имеет самоподобный характер.
Кроме того, фрактальные наноструктуры играют важную роль в объяснении необычных свойств сложных оксидов и многослойных гетероструктур. На границе слоёв формируются хаотические доменные картины, обладающие фрактальной топологией и влияющие на электронный транспорт.