Гамильтонова формулировка механики представляет собой один из наиболее универсальных и элегантных подходов к описанию динамики физических систем. В ней состояние системы полностью определяется набором обобщённых координат qi и сопряжённых им импульсов pi. Гамильтониан H(q, p, t) играет роль функции энергии, объединяющей кинетическую и потенциальную составляющие, а уравнения движения принимают вид:
$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, \quad i=1,\ldots,n. $$
Эти уравнения описывают эволюцию системы в фазовом пространстве размерности 2n. Характерным свойством гамильтоновой динамики является сохранение симплектической структуры, выражающееся в сохранении фазового объёма (теорема Лиувилля).
Система с n степенями свободы называется полностью интегрируемой, если существует n независимых интегралов движения, находящихся в попарной инволюции относительно скобки Пуассона. Скобка Пуассона для функций f и g в фазовом пространстве определяется как
$$ \{f,g\} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i} \right). $$
Условие интегрируемости по Лиувиллю означает существование канонического преобразования, при котором динамика сводится к линейному движению на n-мерном торе. Это делает поведение системы предсказуемым и регулярным, а её фазовое пространство заполнено инвариантными многообразиями — торами Лиувилля–Арнольда.
Особенно важным инструментом анализа интегрируемых систем являются канонические преобразования. Они позволяют перейти к переменным действие–угол (Ii, θi), в которых гамильтониан зависит только от действий:
H = H(I1, …, In).
Уравнения движения в этих координатах приобретают простой вид:
İi = 0, θ̇i = ωi(I).
Таким образом, динамика сводится к равномерному вращению по угловым координатам с частотами ωi. Это описывает регулярное квазипериодическое движение, лишённое признаков хаоса.
Однако подавляющее большинство физических систем не являются полностью интегрируемыми. При добавлении малых возмущений, разрушающих условия точной интегрируемости, фазовое пространство изменяется кардинально. Согласно теореме Колмогорова–Арнольда–Мозера (KAM-теорема), часть инвариантных торов сохраняется, но между ними образуются области сложной динамики. В этих зонах возможны стохастические траектории, пересекающиеся резонансные острова и появление хаотических областей.
Разрушение интегрируемости можно проиллюстрировать на примере осцилляторов:
Ключевое различие между интегрируемыми и неинтегрируемыми гамильтоновыми системами заключается в структуре их фазового пространства:
Такая мозаичная структура характерна для перехода от порядка к хаосу.
Важным следствием разрушения интегрируемости является переход к эргодическим свойствам. В интегрируемых системах траектории ограничены на торе, и усреднение по времени не совпадает с усреднением по фазовому пространству. В неинтегрируемых гамильтоновых системах траектории могут заполнять область фазового пространства «равномерно» (в статистическом смысле), что позволяет использовать методы статистической физики для описания их динамики.
Эргодичность связана с фундаментальными основаниями статистической механики: именно хаотическая динамика и потеря интегрируемости обосновывают возможность перехода от детерминистических уравнений движения к вероятностному описанию макроскопических систем.
Интегрируемость и её нарушение проявляются и в квантовой механике. Для интегрируемых гамильтоновых систем уровни энергии упорядочены и подчиняются закону Пуассона. Для хаотических гамильтонианов спектральная статистика описывается предсказаниями теории случайных матриц (законом Вигнера–Дайсона). Это различие лежит в основе квантового хаоса и демонстрирует универсальную роль интегрируемости в переходе от регулярности к хаосу в классических и квантовых системах.