Гистерезисом называют явление, при котором состояние системы зависит не только от текущих значений управляющих параметров, но и от её предыстории. В отличие от линейных систем, где реакция определяется исключительно входным воздействием, нелинейные системы обладают «памятью», закрепленной в их динамических уравнениях. Характерным проявлением гистерезиса является запаздывание отклика при изменении внешнего параметра и наличие различных ветвей решений для одинаковых значений управляющей величины.
Простейший пример гистерезиса можно наблюдать в системе с нелинейной зависимостью силы от смещения, где для одного и того же значения параметра существует несколько устойчивых состояний. При плавном изменении управляющего параметра система «перескакивает» с одной ветви устойчивых решений на другую, что и образует петлю гистерезиса.
В фазовом пространстве гистерезис проявляется как наличие множественных аттракторов при одном и том же значении управляющего параметра. При этом траектория системы выбирает определённый аттрактор в зависимости от начальных условий и направления изменения параметра. На графиках зависимости ответа от управляющего воздействия петля гистерезиса выражается в виде разветвлений и резких переходов с одной устойчивой ветви на другую.
Классическая схема гистерезиса возникает вблизи бифуркаций седло-узел, где при изменении параметра исчезает один устойчивый и один неустойчивый стационарный режим. Система, оказавшись неспособной оставаться в исчезнувшем состоянии, вынуждена перескочить на другую ветвь устойчивости.
Основными механизмами, вызывающими гистерезис, являются:
Мультистабильностью называют ситуацию, когда при фиксированных параметрах система имеет более одного устойчивого состояния. В этом случае будущее поведение системы определяется не только внешними воздействиями, но и выбором траектории в фазовом пространстве.
В мультистабильных системах соседствуют различные аттракторы: стационарные точки, предельные циклы или хаотические множества. Начальные условия играют решающую роль — траектория попадает в определённый бассейн притяжения, соответствующий конкретному устойчивому состоянию.
Примеры мультистабильности встречаются в самых разных областях физики:
Гистерезис и мультистабильность тесно связаны: наличие множества устойчивых состояний при фиксированном параметре создаёт условия для гистерезиса при изменении этого параметра. Ветви устойчивых решений формируют структуру фазового пространства, по которой система «шагает» при медленном изменении условий.
Если при изменении параметра система «переходит» с одной ветви устойчивости на другую, возникает скачкообразный переход, который при обратном изменении параметра воспроизводится в ином месте. Это и образует характерную петлю гистерезиса.
В системах, демонстрирующих хаотическую динамику, мультистабильность может проявляться в виде сосуществования нескольких хаотических аттракторов. В таких случаях даже при фиксированных параметрах поведение системы непредсказуемо в долгосрочной перспективе, так как минимальное отличие в начальных условиях приводит к выбору одного из конкурирующих аттракторов.
Хаотические гистерезисные петли формируются при переходах между регулярным и хаотическим режимами. Это особенно важно в системах, где хаос возникает через бифуркации типа «период-удвоение» или «кризис аттрактора».
Для описания гистерезиса и мультистабильности используют:
Таким образом, гистерезис и мультистабильность образуют фундаментальные механизмы нелинейной динамики, определяющие память системы, её способность к переключениям и существование множественных устойчивых состояний, что играет ключевую роль в физике хаоса и фракталов.