Одномерное отображение представляет собой рекуррентное соотношение вида
xn + 1 = f(xn),
где f : I → I — непрерывная функция, действующая на интервал I ⊆ ℝ. Подобные отображения используются для моделирования дискретной динамики, когда состояние системы обновляется шаг за шагом во времени. Несмотря на простоту, такие системы способны демонстрировать чрезвычайно сложное поведение, включая бифуркации, появление странных аттракторов и хаос.
Особый интерес вызывает исследование нелинейных отображений с нелинейной зависимостью параметров. Наиболее известным примером является логистическое отображение
xn + 1 = rxn(1 − xn),
где r — управляющий параметр. Именно оно стало моделью-«лабораторией» для изучения возникновения хаоса в простейших дискретных системах.
Динамика одномерного отображения во многом определяется устойчивостью его фиксированных точек. Фиксированная точка x* удовлетворяет условию
x* = f(x*).
Для оценки её устойчивости анализируется производная отображения:
|f′(x*)| < 1 ⇒ устойчивая точка,
|f′(x*)| > 1 ⇒ неустойчивая точка.
В логистическом отображении при малых значениях r (0 < r < 1) единственным аттрактором является нулевая точка x = 0. При 1 < r < 3 система выходит на устойчивое стационарное значение x* = 1 − 1/r. Но дальнейшее увеличение параметра ведёт к утрате устойчивости через бифуркации удвоения периода, что является классическим сценарием перехода к хаосу.
Ключевым механизмом возникновения хаотических режимов в одномерных отображениях является каскад удвоений периода. С ростом параметра r в логистическом отображении наблюдается следующая последовательность:
Этот процесс был впервые систематически изучен Фейгенбаумом. Он показал, что интервалы параметра между бифуркациями уменьшаются геометрически с универсальным коэффициентом:
$$ \delta = \lim_{n \to \infty} \frac{r_{n} - r_{n-1}}{r_{n+1} - r_n} \approx 4.669. $$
Таким образом, каскад удвоений периода является универсальным сценарием, встречающимся в огромном числе нелинейных дискретных систем.
После прохождения критического значения r∞ система переходит в режим хаоса. Основным признаком хаотического поведения является чувствительная зависимость от начальных условий: два почти совпадающих значения x0 приводят к траекториям, которые со временем расходятся экспоненциально.
Количественной мерой этого эффекта служит показатель Ляпунова:
$$ \lambda = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \ln |f'(x_k)|. $$
Если λ > 0, то система находится в хаотическом режиме. Для логистического отображения при r = 4 показатель Ляпунова равен ln 2, что указывает на сильную экспоненциальную дивергенцию траекторий.
Интересно, что даже в хаотическом режиме одномерные отображения содержат окна периодичности — интервалы параметра, в которых система возвращается к регулярному поведению. Наиболее известный пример — окно периода 3 при r ≈ 3.828.
Согласно теореме Ли и Йорка, наличие цикла периода 3 гарантирует существование циклов всех других периодов, а значит, хаос становится неизбежным. Эта теорема подчеркивает фундаментальный факт: хаотические режимы и регулярные циклы в одномерных отображениях переплетаются и сосуществуют.
В хаотических режимах одномерные отображения порождают аттракторы, обладающие фрактальной структурой. Для логистического отображения при r = 4 аттрактор имеет фрактальную размерность D ≈ 0.538.
Такая фрактальная геометрия отражает самоподобие и сложную структуру распределения траекторий. При этом плотность вероятности нахождения системы в различных интервалах может быть описана аналитически: для логистического отображения при r = 4 инвариантная мера выражается как
$$ \rho(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}, \quad 0 < x < 1. $$
Главное свойство хаотических режимов в одномерных отображениях — их универсальность. Независимо от конкретной формы функции f(x), если она удовлетворяет общим условиям нелинейности и имеет «параболический максимум», её динамика демонстрирует те же сценарии бифуркаций и хаотического поведения, что и логистическое отображение.
Таким образом, изучение одномерных отображений дало мощный инструмент для понимания природы хаоса и универсальных закономерностей, проявляющихся в самых разных физических системах: от турбулентности и колебаний в электронике до биологических популяций и астрофизических процессов.