Корреляционная размерность

Корреляционная размерность является одним из важнейших инструментов анализа хаотических систем и фрактальных структур. Она применяется для количественного описания сложности аттракторов в фазовом пространстве и позволяет исследовать, как точки траектории распределяются относительно друг друга. В отличие от топологической или размерности Хаусдорфа-Безиковича, корреляционная размерность связана не с чисто геометрической структурой множества, а с вероятностным распределением точек, генерируемых динамикой системы.

Основная идея метода

Пусть мы имеем временной ряд, полученный в результате эволюции динамической системы, и его фазовую реконструкцию в пространстве размерности m (например, с помощью вложения Такенса). Каждая точка такого пространства соответствует состоянию системы в некоторый момент времени. Для оценки корреляционной размерности необходимо изучить, насколько часто пары точек оказываются ближе друг к другу, чем некоторое расстояние ϵ.

Корреляционная сумма определяется как

$$ C(\epsilon) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \Theta(\epsilon - \|x_i - x_j\|), $$

где N – количество точек на аттракторе, xi – положение i-й точки, ∥⋅∥ – выбранная метрика (обычно евклидова), а Θ – функция Хевисайда, равная 1, если аргумент положителен, и 0 иначе.

Таким образом, C(ϵ) выражает вероятность того, что случайно выбранные две точки находятся на расстоянии меньше ϵ.

Корреляционная размерность определяется как асимптотический показатель степени:

$$ D_2 = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\ln C(\epsilon)}{\ln \epsilon}. $$

Это означает, что при малых ϵ зависимость корреляционной суммы от масштаба подчиняется степенному закону:

C(ϵ) ∼ ϵD2.

Интерпретация корреляционной размерности

  • Если система демонстрирует регулярное поведение и её траектории располагаются на гладком многообразии, то корреляционная размерность совпадает с топологической размерностью этого многообразия.
  • Если система хаотична и её аттрактор имеет фрактальную структуру, то корреляционная размерность принимает дробные значения.
  • Чем выше значение D2, тем больше «сложность» распределения точек на аттракторе, что указывает на высокую степень хаотичности.

Корреляционная размерность особенно полезна при анализе экспериментальных данных, где невозможно напрямую вычислить топологическую или хаусдорфову размерности множества.

Пример: странный аттрактор

Для аттрактора Лоренца численные исследования показывают, что корреляционная размерность составляет примерно D2 ≈ 2.05. Это указывает на то, что точки распределены не в гладкой двумерной поверхности, а на фрактальном множестве с дробной размерностью, лежащей между 2 и 3.

Для аттрактора Хенона корреляционная размерность равна примерно D2 ≈ 1.2, что также подтверждает его фрактальную природу.

Связь с другими фрактальными размерностями

  • Топологическая размерность всегда целая и отражает минимальное число координат, необходимых для описания точки множества. Она не учитывает статистику распределения точек.
  • Размерность Хаусдорфа-Безиковича является более строгой математической характеристикой фрактала, однако трудна для численного вычисления.
  • Корреляционная размерность – практический инструмент, который оценивается напрямую из временного ряда и дает хорошую аппроксимацию хаусдорфовой размерности.

Таким образом, корреляционная размерность занимает промежуточное положение между чисто теоретическими и численно ориентированными характеристиками фракталов.

Метод Грасбергера – Прокаччиа

Наиболее распространённый численный способ вычисления корреляционной размерности был предложен Питером Грасбергером и Итало Прокаччиа в 1983 году. Его основные шаги:

  1. Из временного ряда строится реконструированное фазовое пространство с помощью метода задержек.
  2. Вычисляется корреляционная сумма C(ϵ) для различных значений ϵ.
  3. На логарифмической шкале строится график зависимости ln C(ϵ) от ln ϵ.
  4. Корреляционная размерность D2 определяется как наклон линейного участка этого графика при малых ϵ.

Этот метод получил широкое распространение в физике хаоса благодаря своей универсальности и применимости к реальным экспериментальным данным, включая данные по турбулентности, динамике лазеров, нейрофизиологическим сигналам и даже экономическим временным рядам.

Ограничения метода

  • При слишком малых ϵ данные могут быть искажены шумом.
  • При слишком больших ϵ теряется информация о локальной структуре аттрактора.
  • Для достоверного определения корреляционной размерности необходимо большое количество точек N, иначе оценка может быть ненадёжной.

Эти ограничения делают метод чувствительным к качеству и объёму исходных данных. Тем не менее он остаётся одним из наиболее практичных способов исследования хаотических аттракторов.

Оглавление