Критические показатели (или критические экспоненты) занимают центральное место в описании переходов к хаотическим режимам и в анализе универсальности нелинейных динамических систем. Их введение обусловлено необходимостью количественного описания поведения систем в окрестности бифуркаций, точек фазовых переходов и границ устойчивости. Подобные показатели характеризуют, как определённые физические величины масштабируются при приближении к критическим параметрам, где происходят резкие качественные изменения динамики.
С математической точки зрения критические показатели возникают в ситуациях, когда система демонстрирует самоподобие или масштабную инвариантность. В этом случае динамика вблизи критической точки подчиняется степенным законам. Эти законы отражают глубокую связь между хаотическими режимами и феноменами критических явлений в статистической физике.
При изучении маршрутов перехода к хаосу, таких как каскад удвоения периода, сценарий intermittency (перемежаемости) или квазипериодический сценарий, критические показатели описывают скорость сходимости последовательностей бифуркаций, рост характерных времён корреляции или пространственных масштабов.
Наиболее известный пример — удвоение периода в логистическом отображении. При изменении управляющего параметра система проходит через последовательность бифуркаций, приводящих к хаосу. Критические показатели здесь определяют универсальные коэффициенты, связывающие отношение промежутков между бифуркациями (показатель Фейгенбаума) и масштабирование аттрактора вблизи критической точки. Эти показатели не зависят от конкретного вида отображения и тем самым проявляют свойство универсальности.
М. Фейгенбаум показал, что для широкого класса одномерных нелинейных отображений существует универсальное поведение при переходе к хаосу через каскад удвоения периода. Были введены два универсальных критических показателя:
Эти константы являются критическими показателями универсальности. Они показывают, что совершенно различные физические системы, от гидродинамических потоков до электронных схем, обладают одинаковыми численными характеристиками при переходе к хаосу, если их динамика реализует сценарий удвоения периода.
В сценарии перемежаемости (intermittency) система демонстрирует чередование регулярных участков траектории с хаотическими всплесками. В этом случае критические показатели описывают зависимость среднего времени пребывания в регулярных режимах от расстояния управляющего параметра до критического значения.
Для различных типов перемежаемости (I, II, III по классификации П. Маннера и М. Пома) критические показатели различаются, но всегда подчиняются степенным законам вида:
⟨τ⟩ ∼ |μ − μc|−γ,
где ⟨τ⟩ — среднее время регулярного интервала, μc — критическое значение параметра, а γ — критический показатель. Величина γ зависит от конкретного сценария перемежаемости.
Особое значение имеют показатели, связанные с информационными характеристиками хаоса, в частности с энтропией Колмогорова–Синая. Вблизи критических режимов энтропия часто ведёт себя по степенному закону, а её скорость роста или убывания может быть описана критическими показателями.
Например, в окрестности каскада удвоений периода энтропия стремится к нулю с универсальным показателем, который совпадает для различных систем. Это отражает фундаментальное свойство: при критическом параметре система находится «на границе хаоса», обладая фрактальной структурой аттрактора, но ещё не полностью развившей энтропийный рост хаотической динамики.
Важнейшей областью применения критических показателей является описание фрактальной размерности аттракторов. В хаотических системах множество траекторий формирует фрактальные структуры в фазовом пространстве. Критические показатели описывают, как размерность аттрактора изменяется вблизи критических значений параметров.
Например, корреляционная размерность или информация Шеннона масштабируются с управляющими параметрами по степенным законам. Критический показатель в данном случае отражает скорость сжатия фазового объёма и тем самым является мостом между динамическими и геометрическими характеристиками хаоса.
Критические показатели позволяют переносить методы статистической физики и теории фазовых переходов на задачи нелинейной динамики. Подобно тому как фазовые переходы второго рода описываются универсальными показателями (например, в ферромагнетизме или сверхпроводимости), хаотические переходы подчиняются аналогичной универсальной классификации.
Таким образом, критические показатели в хаотических системах:
Именно наличие критических показателей делает возможным построение единой теории хаоса и фрактальных структур, выходящей далеко за пределы конкретных моделей и находящей применение в гидродинамике, электронике, астрофизике и статистической механике.