Общие характеристики кризисов Кризисом аттрактора называют внезапное качественное изменение структуры аттрактора при плавном изменении управляющего параметра динамической системы. Эти переходы принципиально отличаются от плавных бифуркаций, поскольку проявляются скачкообразным расширением, разрушением или исчезновением аттрактора. Кризисы являются важнейшими механизмами рождения хаоса, изменения размерности фазового портрета и переходов между устойчивыми и неустойчивыми режимами движения.
Впервые систематическое исследование кризисов было проведено в рамках нелинейных дискретных отображений и моделей, таких как логистическое отображение и отображение Хенона. Однако аналогичные явления характерны и для реальных физических систем — турбулентных течений, плазмы, лазеров, цепочек осцилляторов.
1. Внутренний кризис (interior crisis) Внутренний кризис происходит тогда, когда хаотический аттрактор внезапно увеличивает свои размеры при столкновении с границей области притяжения неустойчивого периодического решения. До кризиса система демонстрирует ограниченную область хаотического движения, после кризиса — хаотический аттрактор резко расширяется, охватывая новые области фазового пространства.
Ключевая особенность: до кризиса движение выглядит «локализованным», после кризиса наблюдается «скачкообразное» увеличение области хаотических колебаний.
2. Граничный кризис (boundary crisis) Граничный кризис возникает при пересечении хаотического аттрактора с границей собственного бассейна притяжения. В результате аттрактор внезапно исчезает, и система начинает уходить либо к бесконечности, либо в другой аттрактор, существующий в системе.
Здесь наблюдается феномен временного хаоса: траектории в течение некоторого времени ведут себя как будто они принадлежат разрушенному хаотическому аттрактору, а затем покидают его область и стремятся к другому устойчивому состоянию. Продолжительность транзиентов статистически распределена и растёт при приближении к кризисной точке.
3. Внешний кризис (exterior crisis) Внешний кризис характеризуется тем, что хаотический аттрактор внезапно исчезает в результате столкновения с внешним неустойчивым периодическим орбитом или с другой границей фазового пространства. После кризиса система теряет сложный динамический режим и переходит в более регулярное состояние.
Кризисы связаны с пересечением инвариантных множеств — аттракторов и неустойчивых многообразий седловых орбит. В фазовом пространстве эти события выглядят как внезапное «размыкание» или «столкновение» областей.
Фрактальная структура при кризисах играет ключевую роль: именно тонкая геометрия пересекающихся многообразий определяет, каким образом происходит скачок.
Кризисы аттракторов тесно связаны с феноменом интермиттенции — чередования хаотических и почти регулярных фаз движения. Например, при граничном кризисе до полного разрушения аттрактора возникает статистически распределённая интермиттенция: длительные участки, напоминающие хаос, прерываются внезапными «падениями» в регулярный режим.
Интермиттенция при кризисах носит универсальный характер: её распределение подчиняется степенным законам, а характерные временные масштабы зависят от расстояния до критического значения управляющего параметра.
Феноменология кризисов включает критическое замедление и универсальные законы масштабирования.
⟨τ⟩ ∼ |p − pc|−γ,
где p — управляющий параметр, pc — кризисное значение, γ — критический показатель.
Таким образом, кризисы аттракторов подчиняются универсальной критической динамике, аналогичной фазовым переходам второго рода в статистической физике.
Кризисы являются ключевыми точками в параметрическом пространстве, где меняется топология фазового портрета. Именно через кризисы динамические системы проходят к более высоким уровням хаоса или, наоборот, теряют сложные режимы.
Таким образом, кризисы аттракторов образуют своего рода «катастрофы» в хаотической динамике, когда качественное изменение траекторий происходит мгновенно и необратимо. Они обеспечивают естественный механизм смены хаотических режимов, а также создают мост между теорией бифуркаций и статистической физикой критических явлений.