Квантовые бильярды представляют собой квантовомеханическую версию классических динамических систем с отражениями — бильярдов. В классическом случае частица движется свободно внутри ограниченной области и испытывает упругие столкновения со стенками. В квантовом аналоге система описывается уравнением Шрёдингера с граничными условиями на границе области, которая играет роль «стенок».
Таким образом, квантовый бильярд можно рассматривать как задачу нахождения собственных функций и собственных значений двумерного оператора Лапласа в конечной области с граничными условиями Дирихле или Неймана. Геометрия области полностью определяет спектральные свойства и пространственное распределение волновых функций.
В отсутствие внешнего потенциала стационарное уравнение Шрёдингера принимает вид
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}), $$
где ψ(r) — волновая функция, E — энергия, а граничные условия задаются как
ψ(r)|∂Ω = 0,
если частица абсолютно отражается от стенок области Ω.
Таким образом, квантовый бильярд эквивалентен спектральной задаче для лапласиана в области с фиксированной формой.
Различие в спектре квантового бильярда определяется геометрией:
Интегрируемые бильярды — круг, прямоугольник, равносторонний треугольник. В таких системах собственные функции выражаются через специальные функции (например, функции Бесселя для круга), а уровни энергии обладают регулярной структурой. Распределение уровней подчиняется статистике Пуассона.
Неинтегрируемые (хаотические) бильярды — например, стадион Бунiма-Штайна, синусоидальные или произвольные деформированные области. В этих случаях отсутствует полный набор интегралов движения, и динамика становится хаотической. Спектр демонстрирует статистику, описываемую распределениями случайных матриц (гауссовый ортогональный ансамбль, GOE).
Одним из ключевых методов изучения квантовых бильярдов является статистика уровней энергии. Для интегрируемых систем соседние уровни не «отталкиваются» друг от друга, что приводит к экспоненциальному закону распределения расстояний между уровнями. В хаотических же бильярдах уровни демонстрируют сильное отталкивание, что отражается в распределении Вигнера-Дайсона:
P(s) ∼ sβexp (−as2),
где параметр β зависит от симметрий системы (например, β = 1 для GOE).
Классическая хаотичность проявляется в статистике квантовых волновых функций. В интегрируемых бильярдах волновые функции упорядочены и могут быть разложены по регулярным модам. В хаотических областях они становятся «нерегулярными», а их амплитуды описываются гауссовыми распределениями.
Особое внимание уделяется концентрации волновых функций вдоль периодических орбит (т.н. скаринг, от англ. scars). Эти структуры представляют собой усиление плотности вероятности вблизи нестабильных классических орбит, что является прямым следом классического хаоса в квантовой системе.
Число уровней с энергией меньше E подчиняется асимптотическому закону Вейля:
$$ N(E) \sim \frac{A}{4\pi} \frac{2m}{\hbar^2} E - \frac{L}{4\pi} \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} + \dots, $$
где A — площадь области, L — длина границы. Первое слагаемое описывает «среднюю» плотность уровней, второе — поправку из-за граничных эффектов. Более тонкие осцилляционные поправки связаны с периодическими орбитами классического бильярда (формула Гутцвиллера).
Для хаотических бильярдов энергетический спектр можно описать через периодические орбиты классической системы. Трассировочная формула Гутцвиллера связывает плотность уровней с суммой по всем нестабильным орбитам:
$$ d(E) = \bar{d}(E) + \sum_{p} A_p(E) \cos\left(\frac{S_p(E)}{\hbar} - \frac{\pi}{2} \mu_p\right), $$
где d̄(E) — сглаженная плотность уровней, Sp(E) — действие на орбите p, μp — индекс Маслова, а Ap(E) учитывает стабильность орбиты.
Эта формула служит мостом между квантовой механикой и классической хаотической динамикой.
Квантовые бильярды реализуются в ряде физических систем:
В хаотических системах наблюдаются фрактальные особенности спектра и волновых функций. При варьировании параметров (например, формы границы) спектры демонстрируют самоподобные структуры. В фазовом пространстве распределение интенсивности волновых функций может принимать фрактальный характер, что связывает квантовые бильярды с общей тематикой фракталов в физике.