Классическая теория хаоса базируется на идее экспоненциальной чувствительности к начальным условиям. В классических гамильтоновых системах даже незначительное изменение начальных координат или импульсов приводит к радикально различным траекториям. Однако в квантовой механике ситуация принципиально иная: согласно уравнению Шрёдингера, эволюция волновой функции строго детерминирована и обратима во времени. Более того, принцип неопределённости Гейзенберга исключает возможность задания начальных условий с бесконечной точностью. Возникает вопрос: каким образом в квантовой физике проявляется хаос, если традиционные механизмы «расхождения траекторий» неприменимы?
Под квантовым хаосом понимают изучение квантовых систем, классический аналог которых является хаотическим. Иными словами, исследуется переход от квантовой динамики к классической, и то, каким образом хаотические свойства классической системы находят отражение в спектральных и динамических характеристиках квантовой системы. В отличие от классической теории, где хаос проявляется в фазовых траекториях, в квантовой механике хаотичность проявляется в статистике уровней энергии, структуре собственных функций, временной эволюции волновых пакетов.
Одним из ключевых направлений квантового хаоса является изучение статистики спектра энергии. В интегрируемых квантовых системах уровни энергии распределены случайно, но без корреляций: вероятность найти два близко расположенных уровня велика. В хаотических системах наблюдается эффект «отталкивания уровней»: вероятность совпадения энергий стремится к нулю.
Для описания таких свойств применяется теория случайных матриц (Wigner–Dyson statistics). В зависимости от симметрий системы используются различные ансамбли:
Эти ансамбли воспроизводят статистику уровней энергии в квантовых хаотических системах и демонстрируют универсальные законы, совпадающие для широкого класса физических моделей.
Не менее важным объектом изучения являются собственные функции гамильтониана. В интегрируемых системах они обладают регулярной структурой и отражают разделимость переменных. В хаотических системах собственные функции выглядят «случайными» и обладают свойствами квантовой эргодичности. Согласно гипотезе квантовой эргодичности (Shnirelman theorem), для хаотических систем почти все собственные функции становятся равномерно распределёнными по доступному фазовому пространству.
Особое внимание уделяется статистическим свойствам амплитуд собственных функций. Их распределение часто близко к гауссовскому, что отражает случайный характер квантового хаоса.
Поскольку фазовые траектории в квантовой механике отсутствуют, для анализа динамики применяются квазиклассические методы, такие как функция распределения Вигнера. Эта функция позволяет описывать квантовое состояние в фазовом пространстве и выявлять следы классических хаотических структур.
Одним из ярких феноменов является скаринг (scarring) — локализация волновой функции вблизи нестабильных классических периодических орбит. Несмотря на хаотический характер системы, квантовое состояние «помнит» о существовании этих орбит, что приводит к резким отклонениям от равномерного распределения.
Классический хаос характеризуется экспоненциальной потерей информации о начальных условиях. В квантовой механике аналогичным индикатором служит функция возврата или квантовое эхо (Loschmidt echo). Она измеряет, насколько сильно волновой пакет расходится после эволюции вперёд и назад во времени с небольшим возмущением. В хаотических системах эхо затухает экспоненциально быстро, отражая нестабильность динамики.
Связь квантового и классического хаоса проявляется наиболее ясно в полуклассическом пределе при малом значении постоянной Планка. В этом случае методы траекторных сумм (семиклассические формулы Гуцвиллера) позволяют выразить плотность состояний квантовой системы через суммы по периодическим орбитам соответствующей классической системы. Хаотическая структура орбит непосредственно отражается на спектре энергии.
Квантовый хаос проявляется в самых разных физических системах:
Эти эксперименты подтверждают, что хаотические закономерности носят универсальный характер и не зависят от конкретной природы системы.
Изучение квантового хаоса выходит далеко за рамки статистики спектров. Оно связано с такими фундаментальными проблемами, как переход от квантового к классическому описанию, роль декогеренции и взаимодействия с окружением, а также природа тепловизации в изолированных квантовых системах. В последние десятилетия особое внимание уделяется связи квантового хаоса с квантовой информацией: хаотическая динамика ускоряет рост энтропии запутанности и влияет на устойчивость квантовых вычислений.