Осциллятор ван дер Поля является одной из фундаментальных нелинейных динамических систем, изучаемых в физике хаоса. Его исходное уравнение описывает колебания с нелинейным трением и записывается в виде
$$ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, $$
где x = x(t) — динамическая переменная (например, заряд или отклонение в механической системе), μ > 0 — параметр, определяющий нелинейность и интенсивность трения.
Особенность уравнения заключается в том, что трение носит отрицательный характер для малых амплитуд и положительный для больших, что приводит к самовозбуждению колебаний. Это отличает систему от линейного гармонического осциллятора и делает её моделью автоколебательных процессов.
Для анализа часто используется система уравнений первого порядка:
$$ \begin{cases} \dot{x} = y, \\ \dot{y} = \mu(1 - x^2)y - x. \end{cases} $$
Эта форма удобна для построения фазовых траекторий и численных экспериментов.
В зависимости от значения параметра μ система демонстрирует различные режимы:
Таким образом, осциллятор ван дер Поля является прототипом для изучения перехода от квазигармонических к релаксационным режимам.
Одним из фундаментальных свойств системы является наличие устойчивого предельного цикла. Независимо от начальных условий фазовые траектории стремятся к этому циклу, что отражает физическую природу автоколебаний. В фазовом пространстве это проявляется в том, что траектории либо раскручиваются изнутри к циклу (если начальные условия заданы вблизи нулевой точки), либо затягиваются внутрь (если начальные условия заданы с большой амплитудой).
Лимитный цикл существует для всех положительных μ. Его форма и период зависят от величины нелинейности: чем больше μ, тем более резкими становятся переходы и тем дальше цикл отходит от окружности.
Для анализа устойчивости применяют метод Ляпунова. Линеаризация системы вблизи состояния равновесия (x = 0, y = 0) показывает, что это равновесие неустойчиво при μ > 0. Таким образом, точка покоя не может быть достигнута, и система вынуждена развивать колебания.
Предельный цикл обладает свойством устойчивости по отношению ко всем возмущениям: если начальные условия изменить, система возвращается к тому же циклу. Это делает модель чрезвычайно полезной для описания физических процессов, где наблюдаются стабильные автоколебания.
Хотя классическая форма осциллятора ван дер Поля не демонстрирует хаотической динамики, его модификации приводят к хаосу. Наиболее известный пример — осциллятор ван дер Поля–Даффинга, где к уравнению добавляется кубическая нелинейность и внешнее периодическое воздействие:
$$ \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x + \alpha x^3 = F \cos(\omega t). $$
В такой системе возможны бифуркации, переходы к хаосу через удвоение периода, странные аттракторы и режимы перемежаемости. Это делает модель универсальной для изучения нелинейных явлений в радиоэлектронике, биологии, физике плазмы и нейрофизиологии.
Фазовый портрет осциллятора ван дер Поля состоит из замкнутой траектории — предельного цикла, вокруг которого концентрируются все решения. При увеличении параметра μ цикл вытягивается и принимает форму с резко выраженными петлями.
В случае внешнего возбуждения фазовое пространство усложняется: могут появляться квазипериодические и хаотические аттракторы. Картина фазовых траекторий становится фрактальной, с чередованием устойчивых и неустойчивых областей.
Модель осциллятора ван дер Поля используется для описания множества физических и биологических процессов:
Её универсальность объясняется простотой математической формы и способностью воспроизводить богатый спектр нелинейных явлений, включая режимы самовозбуждения, устойчивых автоколебаний и хаоса при модификациях.