В консервативных системах хаотическая динамика возникает принципиально иным образом, чем в диссипативных. Отсутствие потерь энергии и сохранение фазового объёма (теорема Лиувилля) накладывают строгие ограничения на возможные механизмы возникновения хаоса. В отличие от диссипативных систем, где переход к хаосу часто сопровождается появлением аттракторов и бифуркаций типа удвоения периода, консервативные системы демонстрируют хаос через разрушение регулярных инвариантных структур, описываемых интегралами движения.
Фундаментальной концепцией является инвариантный тор. В полностью интегрируемой системе с N степенями свободы движение в фазовом пространстве происходит по N-мерным торам, на которых эволюция описывается квазипериодическими траекториями. Эти торы устойчивы при слабых возмущениях, однако при определённых условиях начинают разрушаться, создавая хаотические области. Именно этот процесс лежит в основе перехода к хаосу.
Ключевым результатом в понимании механизма перехода к хаосу в консервативных системах является КАМ-теорема. Она утверждает: при малых возмущениях интегрируемой гамильтоновой системы большинство инвариантных торов сохраняется, хотя и слегка деформируется. Лишь часть торов, соответствующих резонансным соотношениям частот, оказывается разрушенной.
Основные моменты:
Таким образом, переход к хаосу в консервативной системе не происходит одномоментно. Сначала возникает «островковая структура»: регулярные области, окружённые хаотическим морем.
Особое значение имеют нелинейные резонансы. Если частоты движения по тору удовлетворяют условию целочисленной комбинации
m1ω1 + m2ω2 + … + mNωN = 0,
то такой тор является резонансным и неустойчивым. В окрестности резонанса образуются резонансные острова, внутри которых движение остаётся регулярным, но окружение островов постепенно становится хаотическим.
Этот процесс приводит к появлению сложной иерархической структуры: острова регулярности, окружённые хаотическими слоями, внутри которых могут существовать острова второго порядка, и так далее. Такое самоподобие характерно для хаотических консервативных систем.
Переход к глобальному хаосу описывается критерием Чирикова. Согласно ему, когда ширина резонансных областей становится сравнимой с расстоянием между соседними резонансами, они начинают перекрываться. Это приводит к тому, что траектория может свободно блуждать по фазовому пространству, теряя квазипериодичность.
Таким образом, порог перекрытия резонансов является основным механизмом перехода от локальных хаотических областей к глобальному хаосу.
Структура фазового пространства вблизи перехода к хаосу характеризуется наличием:
Важно отметить, что хаос в консервативных системах всегда сосуществует с регулярностью. Даже при сильном возмущении полностью хаотическая динамика невозможна: в фазовом пространстве всегда остаются области, где движение остаётся упорядоченным.
Маятник с периодическим возмущением Простейшая модель — маятник с добавленной периодической силой. При слабом возмущении движение остаётся почти интегрируемым, но при достижении критического значения амплитуды происходит перекрытие резонансов и возникает хаос.
Двойной маятник Классический пример, демонстрирующий переход от регулярного к хаотическому движению. Для малых энергий движение близко к интегрируемому, но при увеличении энергии возникают хаотические траектории.
Гамильтоновы системы с несколькими степенями свободы В атомной и молекулярной физике хаос возникает при взаимодействии мод колебаний. Например, в колебаниях многоатомных молекул нарушение условия интегрируемости приводит к стохастическим переходам между различными модами.