Перемежаемость (intermittency) представляет собой один из фундаментальных сценариев перехода от регулярной динамики к хаотической в нелинейных системах. Она характеризуется чередованием участков упорядоченного движения (ламинарных фаз) с непредсказуемыми, нерегулярными всплесками (турбулентными фазами). В отличие от бифуркационного каскада удвоений периода, где хаос возникает через постепенное усложнение структуры движения, перемежаемость проявляется как внезапное и резкое изменение характера динамики при незначительном изменении управляющего параметра.
Основная идея заключается в том, что система длительное время ведет себя почти периодически, но затем возникают редкие, хаотические выбросы. При дальнейшем изменении параметра длительность регулярных фаз сокращается, а хаотические всплески становятся всё более частыми, пока динамика полностью не переходит в хаотический режим.
Пионерские работы М. Фейгенбаума, П. Манневиля и И. Помо выделили несколько универсальных сценариев перемежаемости. Основные из них получили названия:
Перемежаемость I типа (сценарий Поме-Манневиля) Возникает вблизи бифуркации седло-узел. Система проводит значительное время вблизи устойчивого состояния, но периодически “срывается” в хаотическую область. Длительность ламинарных фаз возрастает обратно пропорционально расстоянию от критического параметра.
Перемежаемость II типа Характерна для окрестности бифуркации торуса (квазипериодического движения). В этом случае ламинарные фазы соответствуют почти квазипериодической динамике, а всплески обусловлены разрушением инвариантного тора.
Перемежаемость III типа Связана с кризисами динамических систем и бифуркацией удвоения периода, но отличается тем, что регулярные фазы становятся крайне редкими, и система быстро скатывается к хаотическому режиму.
Таким образом, перемежаемость может рассматриваться как универсальный переходный сценарий, наряду с каскадом удвоений периода и квазипериодическим переходом.
Главная особенность перемежаемости — статистическое распределение длительностей ламинарных фаз. Для различных типов справедливы разные законы:
Для перемежаемости I типа: Среднее время ламинарных интервалов ⟨τ⟩ масштабируется как
$$ \langle \tau \rangle \sim \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}, $$
где ε — расстояние до критического значения управляющего параметра.
Для перемежаемости II типа:
$$ \langle \tau \rangle \sim \frac{1}{\varepsilon}. $$
Для перемежаемости III типа: распределение имеет экспоненциальный характер, и вероятность встретить длинные ламинарные фазы резко падает.
Таким образом, наблюдение статистики ламинарных фаз позволяет экспериментально идентифицировать конкретный тип перемежаемости.
Феномен перемежаемости встречается в самых разных физических системах:
С точки зрения фазового пространства, перемежаемость объясняется наличием почти устойчивых структур (инвариантных многообразий, торусов или предельных циклов), которые продолжают “притягивать” траекторию даже после потери устойчивости. Вследствие этого система “зависает” вблизи этих объектов, создавая ламинарные фазы, но затем траектория неизбежно покидает их и попадает в хаотическую область.
Такое взаимодействие между устойчивыми и неустойчивыми множествами можно рассматривать как столкновение траектории с сепаратрисами или как эффект кризиса аттрактора.
Перемежаемость является одним из трех универсальных сценариев возникновения хаоса, наряду с каскадом удвоений периода и квазипериодическим переходом. Ее универсальность подтверждается тем, что она наблюдается в самых разных системах — от механических осцилляторов до квантовой динамики.
Особую ценность представляет возможность количественного предсказания перехода к хаосу через анализ распределений ламинарных фаз. Это делает перемежаемость важным инструментом для диагностики и контроля нелинейных процессов, а также для понимания фундаментальной природы хаоса.