В изучении хаотических динамических систем ключевую роль играют периодические орбиты, то есть траектории, которые замыкаются в фазовом пространстве после конечного промежутка времени. Несмотря на то что хаотические системы характеризуются экспоненциальной чувствительностью к начальным условиям, набор всех периодических орбит оказывается чрезвычайно информативным: он позволяет восстановить спектральные свойства квантовой системы.
Каждая периодическая орбита определяется длиной траектории (или временем возврата), действием вдоль этой траектории и стабильностью, связанной с поведением близких траекторий. В хаотических системах число таких орбит растёт экспоненциально с увеличением длины пути, и их структура становится всё более сложной. Тем не менее, именно они служат «скелетом» динамики.
При переходе от классической динамики к квантовой важным объектом становится плотность состояний. В квантовой механике она выражается через собственные значения гамильтониана, а в классической — может быть представлена через интеграл по фазовому пространству. Чтобы связать эти два описания, используется след-формула, которая выражает квантовую плотность состояний как сумму вклада усреднённого фона и осцилляционной части, связанной с классическими периодическими орбитами.
В общем виде эта связь записывается как разложение:
d(E) = d̄(E) + dosc(E),
где d̄(E) — сглаженная часть плотности, получаемая из принципа Вейля, а dosc(E) — осциллирующая часть, зависящая от суммы по всем периодическим орбитам системы.
Основным инструментом является след-формула Гуценхойера (Gutzwiller trace formula), предложенная в 1970-х годах. Она устанавливает прямую связь между спектром квантовой системы и множеством всех классических периодических орбит гамильтониана:
$$ d_{\text{osc}}(E) = \frac{1}{\pi \hbar} \sum_{p} \sum_{r=1}^\infty \frac{T_p}{\sqrt{|\det(M_p^r - I)|}} \cos\!\left(\frac{r S_p(E)}{\hbar} - \frac{\pi}{2} r \mu_p \right). $$
Здесь:
Таким образом, каждая орбита вносит вклад в квантовую плотность состояний, и суммирование по всем орбитам восстанавливает полный спектр.
Стабильность орбиты определяется через собственные значения матрицы Mp. Если орбита нестабильна, то в знаменателе появляются экспоненциальные множители, которые определяют относительный вес вклада в спектр. В хаотических системах большинство орбит нестабильны, что приводит к сильным колебаниям в dosc(E).
Индекс Мазлова связан с топологическими особенностями фазового пространства и учитывает дополнительный фазовый сдвиг, возникающий при каждом прохождении через точку поворота или каустики. Его присутствие делает выражение в след-формуле квазиклассически точным.
След-формула не является абсолютно точным выражением: она построена в рамках квазиклассического приближения и предполагает, что действие орбиты много больше ℏ. Это означает, что она особенно эффективна для описания систем с большим квантовым числом или в semiclassical-пределе.
Физический смысл состоит в том, что квантовый спектр не является случайным набором уровней: он отражает скрытый порядок, зашифрованный в наборе всех периодических орбит классической системы.
В хаотических системах число орбит растёт экспоненциально, и прямая сумма в след-формуле расходится. Для её осмысленного применения используются методы усреднения и регуляризации. В частности, вместо того чтобы восстанавливать отдельные уровни энергии, часто исследуют корреляционные функции спектра, где след-формула проявляет статистическую универсальность.
Одним из главных достижений применения след-формулы является установление связи между классической хаотичностью и статистикой уровней энергии в квантовых системах. При определённых условиях спектральные корреляции, вычисленные через периодические орбиты, совпадают с предсказаниями теории случайных матриц (гауссовские ансамбли). Это стало фундаментальным подтверждением гипотезы Бомонта–Богомольного о том, что хаос в классической динамике напрямую отражается в статистике квантовых уровней.