В динамических системах ключевую роль играет вопрос сохранения или потерь энергии. В отличие от гамильтоновых систем, где энергия сохраняется, во многих реальных физических моделях происходит утрата энергии через трение, вязкое сопротивление, излучение или другие механизмы. Эти процессы объединяются понятием диссипации. Диссипация приводит к тому, что фазовое пространство системы постепенно сжимается, а её траектории стремятся к ограниченным структурам, называемым аттракторами.
Механическое трение В макроскопических системах диссипация чаще всего связана с силами сопротивления движению. Например, в системе с вязким трением сила пропорциональна скорости:
F = −γv,
где γ — коэффициент вязкого сопротивления. Энергия системы уменьшается экспоненциально, а амплитуда колебаний затухает.
Электромагнитное излучение Заряженные частицы при ускоренном движении излучают электромагнитные волны, теряя энергию. Это пример диссипации в электродинамике.
Тепловые потери В термодинамических системах диссипация выражается в преобразовании упорядоченной энергии в тепловую, сопровождающуюся ростом энтропии.
Особенность диссипативных систем — сжатие фазового объема. В гамильтоновой динамике, согласно теореме Лиувилля, фазовый объем сохраняется. В диссипативных системах же происходит:
$$ \frac{dV}{dt} < 0, $$
что означает сокращение доступного пространства состояний.
Это приводит к формированию аттракторов — устойчивых множеств, к которым со временем стремятся все траектории. Аттракторы могут быть:
Странные аттракторы — это одно из центральных понятий теории хаоса. Их существование невозможно без диссипации: в консервативных системах фазовые траектории не могут стягиваться в ограниченное множество.
Классический пример — аттрактор Лоренца, возникающий в модели конвекции:
ẋ = σ(y − x), ẏ = x(r − z) − y, ż = xy − bz.
Здесь параметры σ, r, b связаны с физическими свойствами жидкости. Диссипативная природа этой системы проявляется в отрицательной сумме показателей Ляпунова, что означает уменьшение фазового объема.
Хаотическое поведение в диссипативных системах отличается от гамильтонова хаоса. В гамильтоновых системах хаотические траектории «заполняют» области фазового пространства, сохраняя объем. В диссипативных системах хаос ограничен аттрактором с фрактальной структурой.
Основные признаки:
Таким образом, диссипация выступает необходимым условием для формирования устойчивого хаоса в реальных физических системах.
В диссипативной системе всегда существует конкуренция между:
Без подкачки система релаксирует в состояние равновесия, а с подкачкой могут возникнуть устойчивые колебательные режимы или хаотические аттракторы. Примером является логистическое отображение с диссипацией, моделирующее популяционную динамику с потерями и ограниченными ресурсами.
Фазовое пространство диссипативной системы можно представить как многомерный поток с отрицательной дивергенцией. Траектории ведут себя подобно линиям, стремящимся к «втянутым» областям. Аттрактор в этом случае — геометрический объект, к которому стягиваются потоки. Его фрактальная размерность меньше размерности фазового пространства, что является проявлением диссипативного характера системы.
Характеристика этого сжатия выражается через сумму показателей Ляпунова:
$$ \Lambda = \sum_{i=1}^n \lambda_i < 0. $$
Знак неравенства отражает общую потерю объема фазового пространства.