Фракталы — это структуры, обладающие свойством самоподобия, при котором их части напоминают целое на различных масштабах. В отличие от привычных геометрических объектов (точка, линия, плоскость, куб), фрактальные объекты не могут быть адекватно описаны целыми числами размерностей. При увеличении масштаба на фрактале проявляются всё новые уровни сложности, и граница между «частью» и «целым» становится условной.
Примеры фрактальных геометрий:
Эти примеры показывают, что привычное представление о длине, площади и объеме теряет смысл, когда речь идёт о фракталах.
Традиционная евклидова геометрия оперирует целыми размерностями:
Фрактальные объекты не укладываются в эти рамки. Например, кривая Коха формально является линией, но её длина бесконечна, а структура заполняет часть плоскости. Чтобы охарактеризовать такие объекты, была введена фрактальная размерность, которая принимает дробные значения.
Одним из наиболее строгих понятий является размерность Хаусдорфа–Безиковича. Пусть объект покрывается множеством ячеек (шаров или кубов) линейного размера ε. Если N(ε) — минимальное число таких ячеек, необходимых для покрытия объекта, то размерность определяется формулой:
$$ D = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln (1/\varepsilon)}. $$
Для линии D = 1, для плоскости D = 2, для куба D = 3. Однако для фрактала значение оказывается нецелым. Так, для множества Кантора $D = \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0.63$.
В практических расчетах чаще используется коробочная размерность (box-counting dimension). Метод заключается в наложении на объект сетки с шагом ε и подсчёте количества ячеек, пересекающихся с фракталом. Затем применяется аналогичная формула:
$$ D = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln (1/\varepsilon)}. $$
Хотя определение совпадает с хаусдорфовой размерностью, на практике оно проще для численных экспериментов и обработки экспериментальных данных.
$$ D = \frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1.2619. $$
$$ D = \frac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1.585. $$
$$ D = \frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1.893. $$
Эти примеры демонстрируют, что фрактальная размерность характеризует промежуточное положение объекта между линией и поверхностью, или поверхностью и объёмом.
Фрактальная размерность не просто математическая абстракция. Она описывает реальные физические свойства систем:
В нелинейной динамике важную роль играют странные аттракторы — множества, к которым стремится траектория системы при долгом времени эволюции. Эти аттракторы обладают фрактальной структурой и дробной размерностью. Например:
Размерность аттрактора является мерой сложности хаотического движения: чем выше размерность, тем более непредсказуема динамика.
Реальные физические объекты часто не описываются одной фрактальной размерностью. Для сложных распределений (например, плотности вероятности или меры на аттракторе) используется мультифрактальный формализм. Вместо одного числа вводится спектр размерностей, описывающий распределение меры по различным областям.
Мультифракталы находят применение в статистической физике, анализе временных рядов, исследовании турбулентности, геофизических и биологических систем.