Размерность аттракторов

В теории динамических систем одним из центральных понятий является аттрактор — множество состояний, к которому стремится система в процессе эволюции. Аттракторы могут быть простыми (точка, предельный цикл, тор) и сложными (странные аттракторы, обладающие хаотической структурой). Для характеристики сложности аттракторов используется понятие размерности. Размерность аттрактора позволяет количественно оценить, насколько «сложна» его геометрия, как сильно он заполняет фазовое пространство и в какой мере отражает хаотическую динамику.

Геометрическая и топологическая размерность

Традиционные объекты имеют целочисленные размерности: точка — 0, линия — 1, поверхность — 2, объемное тело — 3. В случае аттракторов это не всегда выполняется. Например, странные аттракторы обладают свойством фрактальности, когда их размерность может быть дробной, промежуточной между целыми числами.

  • Топологическая размерность — минимальное число координат, необходимых для локального описания множества. Для большинства аттракторов она является целой.
  • Фрактальная (или хаусдорфова) размерность — величина, показывающая, как число «покрывающих» элементов (например, ячеек сетки) зависит от масштаба. Для фрактальных аттракторов она принимает нецелые значения, отражая их самоподобную структуру.

Таким образом, если аттрактор имеет топологическую размерность 1 (например, кривая в фазовом пространстве), его фрактальная размерность может оказаться 1.26 или 1.58 — что указывает на его хаотическую «шероховатость».

Коробочная (box-counting) размерность

На практике часто используют коробочную размерность, которая является приближением к хаусдорфовой. Метод заключается в следующем:

  1. Фазовое пространство разбивается на ячейки размера ε.
  2. Подсчитывается число ячеек N(ε), пересекающихся с аттрактором.
  3. Определяется зависимость N(ε) от ε при уменьшении масштаба.

Размерность находится по формуле:

$$ D_B = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln (1/\varepsilon)} $$

Если аттрактор является фракталом, то эта величина не равна целому числу. Метод box-counting активно применяется в компьютерных исследованиях хаотических систем.

Информационная размерность

Информационная размерность учитывает распределение траекторий по аттрактору и строится на основе энтропийных соображений. Пусть вероятность попадания траектории в i-ю ячейку равна pi. Тогда информационная размерность определяется как

$$ D_1 = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-\sum_i p_i \ln p_i}{\ln (1/\varepsilon)} $$

Эта характеристика более чувствительна к неравномерности распределения траекторий и лучше описывает динамику систем с неравномерно «заполненными» аттракторами.

Корреляционная размерность

Для практических задач численного анализа часто используют корреляционную размерность, которая легко вычисляется по временным рядам. Пусть имеются координаты множества точек аттрактора. Определяется корреляционная сумма:

$$ C(\varepsilon) = \frac{1}{N^2} \sum_{i,j} \Theta (\varepsilon - |x_i - x_j|), $$

где Θ — функция Хевисайда. Эта сумма показывает вероятность того, что две произвольные точки окажутся ближе друг к другу, чем ε.

Размерность вычисляется как показатель степени:

$$ D_2 = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ln C(\varepsilon)}{\ln \varepsilon} $$

Корреляционная размерность является наиболее популярным численным методом для анализа хаоса в экспериментальных данных (например, в физических экспериментах с турбулентностью, колебательными цепями, плазмой).

Спектр размерностей и мультифрактальность

Во многих случаях аттрактор не может быть описан одной-единственной размерностью. Его структура обладает мультифрактальными свойствами, то есть в разных масштабах и областях фазового пространства наблюдаются разные показатели фрактальности.

Для описания мультифракталов используют спектр обобщённых размерностей Dq, определяемых через вероятности pi:

$$ D_q = \frac{1}{q-1} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ln \sum_i p_i^q}{\ln (1/\varepsilon)} $$

  • При q = 0 — получаем коробочную размерность D0.
  • При q = 1 — информационная размерность D1.
  • При q = 2 — корреляционная размерность D2.

Таким образом, спектр Dq описывает полную статистическую структуру аттрактора.

Физический смысл размерности аттракторов

  • Малая размерность (целая) — аттрактор прост: точка соответствует устойчивому равновесию, цикл — периодическому движению, тор — квазипериодическому.
  • Дробная размерность — показатель хаотичности и фрактальности динамики. Чем выше дробная размерность, тем «богаче» динамика.
  • Мультифрактальность — наличие сложной иерархической структуры, отражающей вариации плотности траекторий.

Размерность аттрактора тесно связана с энтропией Колмогорова–Синая и спектром показателей Ляпунова. Например, размерность Каплана–Йорка связывает число положительных показателей Ляпунова с фрактальной размерностью аттрактора:

$$ D_{KY} = j + \frac{\sum_{i=1}^j \lambda_i}{|\lambda_{j+1}|} $$

где λi — показатели Ляпунова, а j — максимальное число, при котором сумма первых j показателей остаётся положительной.

Примеры

  1. Аттрактор Лоренца: его топологическая размерность равна 3, но фрактальная — около 2.06. Это отражает хаотическую динамику в трёхмерной системе.
  2. Аттрактор Хенона: имеет фрактальную размерность около 1.26, что показывает его промежуточное положение между линией и плоскостью.
  3. Турбулентные потоки: их аттракторы обладают очень высокой фрактальной размерностью (десятки и сотни), что отражает огромную сложность процессов.
Оглавление