В динамике гамильтоновых систем резонансные явления играют ключевую роль в формировании сложного поведения и перехода к хаосу. Резонанс возникает, когда частоты различных степеней свободы системы становятся рационально связанными, то есть удовлетворяют условию вида
m1ω1 + m2ω2 + … + mnωn = 0,
где mi — целые числа, а ωi — собственные частоты. Такие соотношения порождают устойчивые или неустойчивые структуры в фазовом пространстве, определяющие характер движения.
Резонансные зоны проявляются в фазовых портретах в виде островков правильного движения, окружённых более сложными траекториями. Вблизи резонансов система оказывается особенно чувствительной к возмущениям: даже слабое возмущение может разрушить регулярность и породить хаотическое поведение.
В некорректируемых интегрируемых системах фазовое пространство покрыто инвариантными торами. Согласно теореме КАМ (Колмогорова–Арнольда–Мозера), большая часть этих торов сохраняется при малых возмущениях, если частоты являются иррациональными и не попадают в резонанс. Однако вблизи резонансов эти торы могут разрушаться, образуя зоны сложной динамики.
Разрушение тора приводит к тому, что частица или состояние системы перестаёт двигаться по замкнутой квазипериодической траектории и начинает хаотически блуждать в фазовом пространстве. Такие области называют хаотическими морями.
Хаотические моря — это области фазового пространства, в которых отсутствуют устойчивые инвариантные структуры, а движение не имеет регулярного характера. В отличие от островков стабильности, где движение сохраняет квазипериодичность, хаотические моря характеризуются:
Фазовое пространство в типичных физических системах представляет собой сложную мозаику: регулярные островки, вложенные в хаотическое море, окружены всё более мелкими островками, повторяющимися на разных масштабах. Это явление называют острова в море или каскад островков, что отражает самоподобие и фрактальные черты фазовой структуры.
Переход от упорядоченного движения к хаотическому можно формализовать с помощью критерия Чирикова перекрытия резонансов. Если расстояние между резонансными зонами меньше их ширины, то эти зоны начинают перекрываться, создавая единую область хаотического движения.
Математически условие можно выразить как
$$ S = \frac{\Delta \omega}{\delta \omega} \lesssim 1, $$
где Δω — расстояние между соседними резонансами, а δω — их характерная ширина. Когда S становится меньше единицы, начинается хаотическая диффузия по фазовому пространству.
Этот критерий лежит в основе понимания того, как в системах с малым возмущением возникают хаотические моря.
Планетные системы. В динамике астероидов резонансы с Юпитером формируют зоны нестабильности, где движение астероидов становится хаотическим, что приводит к «пустым зонам» (щелям Кирквуда).
Плазменные системы. В плазме перекрытие волн с близкими частотами приводит к стохастическому нагреву частиц и хаотической диффузии в пространстве скоростей.
Нелинейные колебательные системы. В биениях и параметрических резонансах, возникающих при малых возмущениях, резонансные островки разрушаются, и система проявляет хаотическое поведение.
Границы между регулярными островками и хаотическими морями обладают фрактальной структурой. При увеличении масштаба обнаруживаются всё новые вложенные островки, окружённые миниатюрными морями хаоса. Такое поведение делает систему самоподобной, а фазовое пространство — фрактальным объектом.
Эти свойства особенно важны для описания долгосрочной эволюции систем: даже если хаотическая область занимает большую часть фазового пространства, островки регулярности могут «ловить» траектории на большие времена, что приводит к сложной динамике с чередованием хаоса и квазипериодичности.
В хаотических морях наблюдается феномен стиккинга — длительного пребывания траектории вблизи островков регулярности. Это приводит к аномальной (не гауссовой) статистике перемещений и замедленной диффузии. Явление имеет непосредственное значение для задач транспортных процессов в физике плазмы, планетарной динамике и статистической механике.