Система Рёсслера

Постановка уравнений

Система Рёсслера была предложена Отто Рёсслером в 1976 году как одна из простейших трёхмерных динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение. Она задаётся системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

$$ \begin{cases} \dot{x} = -y - z, \\ \dot{y} = x + a y, \\ \dot{z} = b + z(x - c), \end{cases} $$

где a, b, c — действительные параметры. Несмотря на простоту, данная система генерирует сложные траектории, качественно отличающиеся от линейных колебаний или регулярных аттракторов.

Основные характеристики системы

Система Рёсслера исследовалась в контексте упрощённой модели химических реакций и нелинейных колебаний. В отличие от системы Лоренца, где хаос возникает в результате конкуренции конвективных потоков, здесь хаотическая динамика появляется на основе вращательного движения в фазовом пространстве.

  • Переменная x отвечает за квазигармоническое вращение траекторий.
  • Переменная y обеспечивает растяжение фазового пространства.
  • Переменная z задаёт нелинейную обратную связь, ответственную за выход системы в хаос.

Таким образом, система Рёсслера является минималистичной моделью, в которой взаимодействие вращения и нелинейного роста переменной z приводит к хаотическим режимам.

Переход от периодичности к хаосу

При малых значениях параметров (a, b, c) система демонстрирует устойчивые периодические предельные циклы. С увеличением параметра c наблюдается бифуркационная последовательность удвоений периода, аналогичная каскаду Фейгенбаума, которая в пределе приводит к хаосу.

  • При малом c — устойчивый цикл, траектории замыкаются в гладкий тороидальный объект.
  • При увеличении c — периодические колебания становятся всё более сложными, возникают удвоения периода.
  • При больших c — фазовые траектории формируют «свернутую спираль», которая хаотически растягивается и складывается, создавая странный аттрактор.

Таким образом, система Рёсслера демонстрирует универсальность сценариев перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода.

Странный аттрактор Рёсслера

Фазовый портрет системы Рёсслера обладает особой эстетической простотой: в отличие от аттрактора Лоренца с его «крыльями-бабочками», аттрактор Рёсслера напоминает закрученную спираль, которая многократно наматывается и периодически «выбрасывает» траекторию в область сильных искажений.

Основные свойства аттрактора:

  • Фрактальная размерность: аттрактор обладает дробной размерностью, значения которой зависят от параметров a, b, c.
  • Чувствительность к начальным условиям: траектории, стартующие из близких точек, экспоненциально расходятся, что подтверждается положительным значением старшего показателя Ляпунова.
  • Структура сжимающего-растягивающего отображения: динамика аттрактора связана с чередованием участков фазового пространства, где траектория растягивается и складывается, что обеспечивает самоподобие.

Сравнение с системой Лоренца

Хотя обе системы описывают хаос в трёхмерном фазовом пространстве, они имеют принципиальные различия:

  • Аттрактор Лоренца обладает «двукрылой» симметрией, в то время как аттрактор Рёсслера — односпиральный.
  • Динамика Лоренца более связана с экспоненциальным ростом и быстрыми переходами, а у Рёсслера наблюдается более медленное вращение с периодическими выбросами.
  • Аттрактор Рёсслера является более наглядным примером для иллюстрации хаоса в простых системах, тогда как Лоренц исторически был связан с физическими моделями конвекции.

Химико-биологические интерпретации

Рёсслер предполагал, что его система может использоваться как модель автокаталитических химических реакций и биологических ритмов. В частности:

  • динамика переменной z может интерпретироваться как накопление продукта реакции;
  • вращательное поведение (x, y) моделирует колебательные процессы в химических системах;
  • переход к хаосу отражает неустойчивость ритмов в биологических и биохимических процессах.

Показатели Ляпунова и фрактальная размерность

Для количественного анализа хаоса в системе Рёсслера вычисляются показатели Ляпунова:

  • При хаотическом режиме старший показатель положителен, что указывает на экспоненциальное расхождение близких траекторий.
  • Сумма показателей отрицательна, что подтверждает наличие аттрактора с ограниченным фазовым объёмом.

Фрактальная размерность аттрактора Рёсслера обычно лежит в диапазоне от 2 до 3, что указывает на самоподобную структуру, не сводимую к целым измерениям.

Универсальность и приложения

Система Рёсслера служит учебным примером для изучения:

  • сценариев перехода к хаосу через удвоение периода,
  • формирования странных аттракторов,
  • свойств фрактальной геометрии в динамических системах,
  • моделирования хаоса в физике, химии и биологии.

Её простота делает её удобным объектом для компьютерного моделирования, визуализации и изучения фундаментальных свойств нелинейной динамики.

Оглавление