В отличие от детерминированных фракталов, которые создаются посредством строгих и однозначно определённых правил (например, кривая Коха или множество Кантора), случайные фракталы формируются с использованием вероятностных процедур. В их основе лежит генерация структуры, в которой элемент неопределённости играет ключевую роль. Каждая итерация включает выбор между несколькими возможными преобразованиями с определённой вероятностью. В результате строится объект, сохраняющий свойства самоподобия, но при этом обладающий нерегулярностью, характерной для природных форм.
Такой подход позволяет моделировать реальные явления, где строгая геометрия заменена хаотической сложностью: облака, горные хребты, русла рек, распределения галактик и даже динамика турбулентных потоков в жидкостях.
Метод итерационных систем функций (IFS) стал основой для построения случайных фракталов. Если в классическом случае применяются строго фиксированные аффинные преобразования, то в вероятностной модификации каждое преобразование выбирается случайным образом согласно заданному распределению вероятностей.
Пусть имеется набор преобразований W1, W2, …, Wn, каждому из которых соответствует вероятность p1, p2, …, pn, где $\sum_{i=1}^n p_i = 1$. Начав с произвольной точки на плоскости, на каждом шаге выбирается преобразование Wi с вероятностью pi, после чего новая точка фиксируется как часть изображения. Через большое число итераций формируется фрактальное множество, обладающее статистическим самоподобием.
Случайные фракталы позволяют описывать объекты, в которых регулярность и хаотичность сочетаются особым образом. Геометрически это проявляется в том, что отдельные части структуры не идентичны друг другу, но подчиняются единой статистической закономерности.
С физической точки зрения, случайные фракталы адекватно моделируют процессы, где присутствует шум или неопределённость. Например:
Одним из важнейших инструментов анализа случайных фракталов является фрактальная размерность. Для детерминированных объектов она может вычисляться аналитически, но для случайных структур применяется метод Монте-Карло и статистический анализ покрытия.
Ключевое различие заключается в том, что фрактальная размерность в случайных фракталах является не фиксированным числом, а случайной величиной, обладающей средним значением и дисперсией. Так, например, при моделировании облаков наблюдается усреднённая размерность, близкая к D ≈ 2.3, отражающая промежуточную природу структуры между плоскостью и объёмом.
Броуновское движение и броуновские траектории Траектория частицы, движущейся по законам броуновского движения, является случайным фракталом с размерностью 2. Она покрывает пространство более плотно, чем обычная кривая, и служит фундаментальным примером стохастического фрактала.
Фрактальные поверхности и ландшафты При моделировании горных рельефов используется алгоритм случайного добавления шумов на каждом шаге. Так формируется поверхность, обладающая самоподобием в разных масштабах, но не имеющая регулярной геометрии.
Фракталы Леви Процесс Леви описывает случайные блуждания с распределением скачков, подчиняющихся степенному закону. В результате траектория обладает самоподобием и нетривиальной размерностью, что используется в моделировании процессов диффузии с аномальными характеристиками.
Стохастические деревья и модели роста Алгоритмы типа DLA (Diffusion-Limited Aggregation) генерируют структуры, напоминающие кристаллы или разветвлённые дендритные образования. Рост кластера определяется случайными блужданиями частиц, осаждающихся на границе.
Случайные фракталы не являются лишь математической абстракцией. Они играют ключевую роль в моделировании систем с хаотическими и стохастическими компонентами:
Таким образом, случайные фракталы представляют собой универсальный инструмент для описания сложных объектов, где порядок и хаос образуют неразделимое единство.