Теория случайных матриц возникла в середине XX века в ядерной физике как инструмент для описания спектров сильно взаимодействующих сложных систем, где традиционные методы квантовой механики оказываются неэффективными. В 1950-е годы Юджин Вигнер предложил заменить детальный гамильтониан ядра, учитывающий огромное количество взаимодействий нуклонов, матрицей с элементами, выбранными случайным образом в соответствии с определённым статистическим законом. Эта замена позволила выделить универсальные статистические свойства спектров, не зависящие от конкретных деталей взаимодействия.
Ключевая идея заключается в том, что статистика уровней энергии в сложных квантовых системах отражает фундаментальные свойства их динамики. Для регулярных систем спектры обладают квазипериодической структурой, в то время как для хаотических систем характерны универсальные закономерности, которые успешно описываются ансамблями случайных матриц.
В зависимости от симметрий квантовой системы различают три главных класса ансамблей:
Эти ансамбли образуют основу так называемой «тройной классификации Дайсона».
Для хаотических квантовых систем характерно явление отталкивания уровней энергии. В спектре не наблюдается случайного наложения уровней, как в пуассоновской статистике, свойственной интегрируемым системам, а распределение соседних расстояний подчиняется универсальным законам, задаваемым случайными матрицами.
Функция распределения ближайших соседних уровней P(s), где s — нормированное расстояние между соседними уровнями, имеет вид:
$$ P(s) = \frac{\pi}{2} s \exp\left(-\frac{\pi}{4}s^2\right), $$
$$ P(s) = \frac{32}{\pi^2} s^2 \exp\left(-\frac{4}{\pi}s^2\right). $$
В обоих случаях вероятность нахождения уровней близко друг к другу равна нулю, что и отражает эффект отталкивания уровней.
Помимо распределения ближайших соседей, важную роль играет функция двухуровневой корреляции, отражающая более дальние связи между уровнями. Для случайных матриц характерна так называемая «жёсткость спектра» – слабая изменчивость средней плотности уровней на больших интервалах энергии. В отличие от этого, в интегрируемых системах спектр подчиняется пуассоновской статистике, где корреляции отсутствуют, и распределение промежутков между уровнями описывается экспонентой:
P(s) = e−s.
Таким образом, наличие или отсутствие корреляций в спектре является надёжным критерием для классификации квантовой системы как хаотической или интегрируемой.
Применение теории случайных матриц выходит далеко за рамки ядерной физики. Она используется для описания спектров атомов с сильными возбуждениями, в квантовой теории хаотических бильярдов, в физике мезоскопических систем (например, квантовых точек), в теории конденсированного состояния и даже в квантовой гравитации.
Одним из ярких примеров является поведение спектра электронов в двумерных квантовых точках, где хаотическая динамика проявляется в распределении уровней энергии, полностью совпадающем с предсказаниями случайных матриц. Аналогично, спектры микроволновых резонаторов, форма которых моделирует хаотический бильярд, демонстрируют те же статистические закономерности.
Интересным аспектом является возможность контролировать переходы между различными статистическими режимами за счёт изменения параметров системы. Например, введение магнитного поля разрушает симметрию обращения времени и приводит к переходу от GOE к GUE. В спиновых системах возможно наблюдать переход к GSE. Эти переходы отражают постепенное изменение свойств корреляций уровней и дают ценную информацию о механизмах возникновения квантового хаоса.
Хотя квантовый хаос не может быть напрямую определён через траектории частиц (которые отсутствуют в квантовой механике), статистика случайных матриц выступает мостом между классическим и квантовым описаниями. Если классическая система хаотична (например, бильярд с рассеянием на выпуклых границах), её квантовый спектр подчиняется предсказаниям теории случайных матриц. Если же система интегрируема (например, гармонический осциллятор), спектр следует пуассоновской статистике.
Современные исследования рассматривают связь случайных матриц не только с хаотическими квантовыми системами, но и с широким спектром явлений:
Таким образом, теория случайных матриц стала универсальным инструментом для исследования квантового хаоса, открывая общие закономерности в самых разных физических системах, от атомных ядер до космологии.