Статистика уровней энергии

В квантовой механике центральную роль играет спектр собственных значений гамильтониана, то есть уровни энергии системы. Если в классической механике исследование хаоса связано с анализом траекторий и фазового пространства, то в квантовой области ключевым объектом становится статистика распределения уровней энергии и её связь с классической динамикой. Именно здесь проявляется фундаментальное взаимодействие между регулярностью, хаосом и универсальными свойствами спектра.

Регулярные и хаотические спектры

Для интегрируемых гамильтоновых систем, где существует набор интегралов движения, спектр уровней энергии имеет квазипериодическую структуру. Уровни могут располагаться близко друг к другу или формировать кластеры. В статистическом смысле такое распределение описывается пуассоновской статистикой, где вероятность найти промежуток s между соседними уровнями задаётся формулой

P(s) = e^−s.

Здесь s измеряется в единицах средней плотности уровней (так называемое развёртывание спектра или unfolding). Эта статистика отражает отсутствие корреляций между уровнями — каждый уровень ведёт себя независимо от других.

Для хаотических систем ситуация принципиально иная. При переходе от классической динамики к квантовой спектр перестаёт быть случайным набором уровней и начинает подчиняться закономерностям, предсказываемым теорией случайных матриц. В этом случае соседние уровни отталкиваются друг от друга, и вероятность найти два уровня с очень малым промежутком оказывается подавленной. Типичная форма распределения промежутков описывается так называемым законом Вигнера:

$$ P(s) = \frac{\pi}{2} s \, e^{-\frac{\pi}{4} s^2}. $$

Такое распределение характерно для ортогональной симметрии гамильтониана (гауссовский ортогональный ансамбль, GOE).

Теория случайных матриц

Теория случайных матриц (Random Matrix Theory, RMT) стала фундаментальной основой для описания квантового хаоса. Согласно подходу Дайсона и Вигнера, гамильтонианы хаотических систем можно аппроксимировать случайными эрмитовыми матрицами с определёнными симметриями.

GOE (Gaussian Orthogonal Ensemble): симметричные матрицы с вещественными элементами; описывают системы с временной обратимостью и без спина.
GUE (Gaussian Unitary Ensemble): эрмитовы матрицы со случайными комплексными элементами; описывают системы без временной обратимости (например, в присутствии магнитного поля).
GSE (Gaussian Symplectic Ensemble): кватернионные матрицы; соответствуют системам с сильным спин-орбитальным взаимодействием.

Каждый ансамбль характеризуется универсальными законами распределения промежутков и корреляционных функций спектра. Таким образом, хаотическая система демонстрирует универсальность статистики уровней, зависящую только от типа симметрий.

Универсальность и связь с классической динамикой

Классическая динамика системы определяет, к какому типу распределения уровней энергии стремится квантовый спектр.

Для интегрируемых систем (регулярная динамика) спектр следует пуассоновской статистике.
Для хаотических систем (эргoдическая динамика в фазовом пространстве) спектр подчиняется законам RMT.

Эта закономерность известна как гипотеза Боммеля–Богомольного (Berry–Tabor hypothesis) для регулярных систем и как гипотеза Боммеля–Богаомольного–Дайсона (Bohigas–Giannoni–Schmit conjecture) для хаотических.

Таким образом, спектральная статистика является квантовым «подписью» хаоса.

Распределение ближайших соседей и отталкивание уровней

Ключевой характеристикой спектра является распределение ближайших соседних расстояний P(s).

В пуассоновской статистике P(s) ∼ e^−s, при s → 0 вероятность не равна нулю — уровни могут практически совпадать.
В хаотической статистике (например, закон Вигнера) P(s) ∼ s при s → 0 — наблюдается линейное «отталкивание уровней».

Это отталкивание — фундаментальный маркер хаотического поведения, показывающий, что уровни энергии не могут случайно совпадать, а структурированы по универсальным законам.

Долгопробежные корреляции спектра

Кроме распределения соседних уровней, важны и более глубокие характеристики спектра. Среди них:

Функция плотности уровней: описывает среднюю тенденцию распределения.
Двухточечная корреляционная функция: учитывает взаимное влияние уровней на больших масштабах.
Спектральная жесткость (measured by Dyson–Mehta statistic Δ₃): отражает степень флуктуаций в расположении уровней.

Для хаотических систем спектр оказывается «жёстким» — на больших интервалах уровни распределены почти равномерно, отклонения минимальны. Для регулярных систем наоборот — спектр «мягкий» и более случайный.

Применения и эксперименты

Исследование статистики уровней энергии имеет фундаментальное и прикладное значение:

Атомные и молекулярные спектры: сложные атомы (например, церий, уран) демонстрируют спектры, близкие к предсказаниям RMT.
Квантовые хаотические бильярды: эксперименты с микроволновыми резонаторами подтверждают распределение уровней по закону Вигнера.
Ядерная физика: спектры возбуждённых состояний ядер согласуются с распределениями случайных матриц.
Мезоскопические системы: электронные уровни в квантовых точках подчиняются тем же универсальным закономерностям.

Таким образом, статистика уровней энергии стала одним из наиболее надёжных индикаторов квантового хаоса, универсально проявляющегося в различных физических системах.