Стохастический резонанс (СР) — это явление, при котором слабый периодический сигнал в нелинейной системе может быть оптимально усилен за счет присутствия определённого уровня шума. В отличие от классического резонанса, где усиление сигнала достигается согласованием частоты внешнего воздействия с собственной частотой системы, в стохастическом резонансе ключевую роль играет взаимодействие шума с нелинейностью системы.
Математически СР часто моделируется через двустабильные потенциалы, где динамика описывается уравнением Ланжевена:
$$ \frac{dx}{dt} = -\frac{dU(x)}{dx} + A \cos(\omega t) + \sqrt{2D} \xi(t), $$
где U(x) — потенциальная энергия, A и ω — амплитуда и частота периодического сигнала, D — интенсивность шума, ξ(t) — белый гауссовский шум.
Первые эксперименты по стохастическому резонансу появились в 1981 году в контексте климатических исследований. Было показано, что малые периодические изменения солнечной радиации могли вызывать крупные колебания климатических параметров благодаря взаимодействию с шумовыми флуктуациями системы Земли. Позднее концепция СР получила широкое развитие в физике конденсированных сред, лазерной физике, электронике и биофизике.
Для иллюстрации рассмотрим двустабильную систему с двумя локальными минимумами x1 и x2. При слабом периодическом сигнале амплитуда которого меньше барьера Ub между состояниями, переходы практически не происходят. Введение шума позволяет системе преодолевать энергетический барьер с вероятностью, определяемой законом Крамерса:
$$ \Gamma \sim \exp\left(-\frac{U_b}{D}\right), $$
где D — интенсивность шума. При определённом уровне шума переходы синхронизируются с периодическим сигналом, создавая резонансное усиление отклика.
Существует несколько способов количественной характеристики стохастического резонанса:
Коэффициент усиления сигнала (Signal-to-Noise Ratio, SNR): Измеряется в частотной области и определяется как отношение мощности сигнала к мощности шумовой компоненты на частоте сигнала.
Модуляционная амплитуда (Spectral Amplification Factor): Описывает, насколько выход системы усиливает амплитуду периодического сигнала относительно уровня шума.
Кросс-корреляция между входным сигналом и выходной реакцией системы: Используется для анализа синхронности переходов.
Все эти показатели демонстрируют характерный немонотонный закон зависимости от интенсивности шума, с максимумом при оптимальном значении Dopt.
Пример для двух состояний:
$$ SNR \sim \frac{(\Delta x)^2 \Gamma}{2D}, $$
где Δx — расстояние между минимумами, Γ — скорость перехода.
Стохастический резонанс тесно связан с нелинейной динамикой и хаосом. В сложных системах с многомодовой или фрактальной структурой потенциального ландшафта шум может не просто активировать переходы между двумя состояниями, а создавать структурированную, упорядоченную реакцию, проявляющуюся как временная и пространственная координация переходов.
Фрактальная организация фазового пространства увеличивает возможности для СР, позволяя слабым сигналам использовать «тонкие пути» через энергетические барьеры, обеспечивая более эффективную синхронизацию.