Фазовое пространство — это обобщённое пространство, в котором каждая точка соответствует полному набору динамических переменных системы: координат и импульсов (или скоростей). Размерность фазового пространства равна удвоенной размерности конфигурационного пространства. Эволюция системы во времени описывается траекторией в фазовом пространстве, а ансамбль возможных состояний системы формирует область конечного объёма.
В классической гамильтоновой механике фазовые объёмы сохраняются, что формулируется теоремой Лиувилля: фазовый поток является несжимаемым. Однако при наличии диссипации, стохастических воздействий или нелинейных обратных связей этот принцип нарушается. Именно здесь возникает явление сжатия фазовых объёмов, которое играет ключевую роль в формировании хаотических аттракторов и фрактальной структуры фазовых траекторий.
Если система замкнута и описывается гамильтонианом, её динамика консервативна: якобиан преобразования координат и импульсов равен единице, а фазовый объём сохраняется. Для диссипативных систем ситуация меняется:
$$ \frac{dV}{dt} = V \, \nabla \cdot \mathbf{F}(\mathbf{x}), $$
где V — элемент фазового объёма, а F(x) — поле скоростей в фазовом пространстве. Если дивергенция отрицательна, фазовый объём уменьшается во времени.
Таким образом, в системах с трением, сопротивлением среды или нелинейным затуханием фазовые траектории не заполняют всё пространство, а «сжимаются» в многообразия меньшей размерности. Это приводит к концентрации траекторий на аттракторах.
Визуализировать этот процесс можно на примере простых систем:
Сжатие означает потерю степеней свободы: начальные состояния, сколько бы их ни было, в конечном счёте оказываются «притянутыми» к одному и тому же множеству — аттрактору.
Количественной характеристикой сжатия является сумма показателей Ляпунова. Для n-мерной системы они определяют экспоненциальные скорости расхождения или сближения соседних траекторий.
$$ \Lambda = \sum_{i=1}^n \lambda_i. $$
Это ведёт к появлению фрактальных аттракторов: устойчивых множеств, где динамика хаотична, но фазовое пространство «тонко сжато» в многомерную геометрию дробной размерности.
Сжатие фазового объёма связано с фундаментальной потерей информации о начальных условиях. Несмотря на то, что хаотическая динамика усиливает чувствительность к начальным условиям, диссипация заставляет разные траектории «сходиться» на одном множестве. В информационном смысле система теряет энтропию при сжатии фазового объёма, однако компенсирует это за счёт усложнения структуры траекторий на аттракторе.
Именно благодаря этому хаотические аттракторы имеют дробную (фрактальную) размерность: фазовый объём не исчезает полностью, а «сворачивается» в бесконечно сложное множество, содержащее информацию о динамике.
Для иллюстрации сжатия можно рассмотреть несколько уравнений:
$$ \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega^2 x = 0. $$
Фазовые траектории экспоненциально сжимаются к неподвижной точке.
ẋ = σ(y − x), ẏ = x(ρ − z) − y, ż = xy − βz.
Дивергенция равна −(σ + 1 + β), что всегда отрицательно. Значит, фазовый объём не сохраняется, а траектории концентрируются на аттракторе.
xn + 1 = 1 − axn2 + yn, yn + 1 = bxn.
Якобиан преобразования равен b, и если |b| < 1, фазовый объём сжимается.
Именно благодаря сжатию фазовых объёмов в диссипативных системах возникают аттракторы дробной размерности. Эти множества:
Сжатие приводит к тому, что множество всех возможных состояний неразрывно связано с геометрией фрактала: система «выбирает» ограниченное множество траекторий, которые не заполняют фазовое пространство полностью.