Вычисление показателей Ляпунова

Показатели Ляпунова являются фундаментальным инструментом в исследовании динамических систем, позволяя количественно характеризовать чувствительность системы к начальным условиям. Для системы с состоянием x(t) ∈ ℝn, описываемой дифференциальным уравнением

$$ \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{F}(\mathbf{x}), $$

показатель Ляпунова λ определяет среднюю экспоненциальную скорость расхождения двух бесконечно близких траекторий:

δx(t) ∼ δx(0)eλt.

Если λ > 0, система демонстрирует хаотическое поведение, так как малые возмущения быстро увеличиваются, что приводит к чувствительности к начальным условиям.

Локальные и глобальные показатели Ляпунова

Показатели Ляпунова делятся на локальные и глобальные.

  • Локальный показатель Ляпунова определяется в конкретной точке фазового пространства и характеризует мгновенное расхождение траекторий.
  • Глобальный показатель Ляпунова вычисляется как среднее значение локальных показателей вдоль траектории в течение длительного времени:

$$ \lambda_{\text{глоб}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln \frac{||\delta \mathbf{x}(t)||}{||\delta \mathbf{x}(0)||}. $$

Для многомерных систем существует полный спектр показателей Ляпунова λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λn, каждый из которых характеризует растяжение или сжатие системы вдоль определенного направления в фазовом пространстве.

Численные методы вычисления

Вычисление показателей Ляпунова аналитически возможно лишь для простых систем. В большинстве случаев используется численный подход. Основные методы:

1. Метод Бенеттина (Benettin et al.)

Метод заключается в интегрировании вариационного уравнения вдоль траектории системы:

$$ \frac{d \delta \mathbf{x}}{dt} = D\mathbf{F}(\mathbf{x}(t)) \cdot \delta \mathbf{x}, $$

где DF — якобиан функции F.

Алгоритм:

  1. Выбирается начальная точка x0 и малое начальное возмущение δx0.
  2. Интегрируются уравнения движения и вариационные уравнения на малый интервал Δt.
  3. Вычисляется растяжение δx(t + Δt) и нормализуется для предотвращения переполнения.
  4. Процесс повторяется многократно, а глобальный показатель вычисляется как среднее значение логарифма увеличения:

$$ \lambda = \frac{1}{N \Delta t} \sum_{i=1}^{N} \ln \frac{||\delta \mathbf{x}_i||}{||\delta \mathbf{x}_{i-1}||}. $$

Метод легко обобщается для вычисления полного спектра Ляпунова через ортонормирование векторов возмущения (метод Грамма–Шмидта).

2. Метод Орто-нормализованных векторов

Для систем с размерностью n > 1 используют набор n линейно независимых векторов возмущения, периодически ортонормированных методом Грамма–Шмидта. Это позволяет вычислить полный спектр λ1, …, λn.

Основные шаги:

  1. Инициализация n линейно независимых векторов δx0(j).
  2. Интегрирование вариационных уравнений для всех векторов.
  3. Применение ортонормализации и вычисление логарифмов норм для каждого вектора.
  4. Усреднение значений по времени для получения спектра показателей.

3. Метод времени возврата (Wolf et al.)

Особенно удобен для экспериментальных данных, когда уравнения движения неизвестны, но имеется временной ряд. Метод основан на поиске ближайших соседей в фазовом пространстве и вычислении их экспоненциального расхождения.

Интерпретация спектра Ляпунова

  • Все λi < 0: устойчивая точка или аттрактор.
  • Один λ1 > 0: хаотический аттрактор.
  • λ1 = 0 и остальные < 0: нейтральная устойчивость вдоль траектории (например, периодические орбиты).
  • Сумма всех λi < 0: сжатие фазового объема, что соответствует диссипативной системе.

Спектр Ляпунова тесно связан с фрактальной размерностью аттрактора через формулы вроде Kaplan–Yorke:

$$ D_{\text{KY}} = j + \frac{\sum_{i=1}^j \lambda_i}{|\lambda_{j+1}|}, $$

где j — наибольшее число, при котором сумма первых j показателей неотрицательна.

Применение в физике

  • Гидродинамика и турбулентность: оценка хаотичности потоков.
  • Оптика и лазеры: анализ динамики нелинейных колебаний.
  • Климатические модели: чувствительность прогноза к малым изменениям параметров.
  • Механические системы: исследование бифуркаций и перехода к хаосу.

Показатели Ляпунова позволяют не только классифицировать режимы движения, но и количественно прогнозировать скорость утраты предсказуемости, что является ключевым аспектом физики хаоса.

Оглавление