Многочастичные системы в конденсированном состоянии характеризуются огромным числом взаимодействующих степеней свободы. Для кристаллов это электронные и фононные состояния, для жидкостей и аморфных тел — распределение атомов и их коллективные возбуждения, для магнитных материалов — спины, связанные обменными взаимодействиями. Аналитическое решение уравнений, описывающих такие системы, в большинстве случаев невозможно. Поэтому широкое распространение получили численные методы, позволяющие с различной степенью приближения вычислять термодинамические, транспортные и спектральные свойства.
Вычислительные подходы для многочастичных систем можно условно разделить на несколько классов: методы первого принципа (ab initio), приближённые модельные схемы, методы статистического моделирования и гибридные подходы, объединяющие элементы разных классов.
Основой для описания многоэлектронных систем служит уравнение Шрёдингера или его релятивистские аналоги. В случае кристаллов применяются периодические граничные условия, и решается задача нахождения зонной структуры и волновых функций.
Теория функционала плотности (DFT). Методы функционала плотности являются стандартом для численного моделирования электронных подсистем. В основе лежит представление о том, что основное состояние многоэлектронной системы полностью определяется электронной плотностью. Современные вычислительные пакеты позволяют рассчитать энергетический спектр, распределение плотности состояний, силы, действующие на атомы, и предсказывать устойчивые кристаллические структуры.
Пост-Hartree-Fock методы. Для более точного описания корреляционных эффектов используются многоконфигурационные методы, такие как Møller–Plesset возмущения (MP2), теория связных кластеров (CCSD(T)), методы конфигурационного взаимодействия (CI). Их применение ограничено малыми системами из-за высокой вычислительной сложности, однако они играют ключевую роль в валидации упрощённых подходов.
При исследовании многих задач квантовой теории твёрдого тела достаточно использовать эффективные модельные описания.
Модель Хаббарда. Применяется для исследования коррелированных электронов. Она учитывает конкуренцию кинетической энергии электронов, связанных с туннельными переходами между узлами решётки, и кулоновского отталкивания на одном узле. Численные методы решения модели Хаббарда включают точную диагонализацию для малых систем, квантовый Монте-Карло и вариационные приближения.
Модель Изинга и Хайзенберга. Для описания магнитных свойств используются спиновые модели, в которых взаимодействие между спинами ограничивается обменным взаимодействием. Численные методы позволяют исследовать фазовые переходы, критические явления, коллективные возбуждения.
Эффективные средние и методы квазичастиц. Широко применяются приближения среднего поля (Mean-Field Theory), теория динамического среднего поля (DMFT), методы Грина. Они позволяют описывать локальные корреляции и энергетические спектры в сильно коррелированных материалах.
Для систем с большим числом степеней свободы важным инструментом являются вероятностные методы.
Методы Монте-Карло. Применяются для расчёта равновесных термодинамических характеристик. Суть заключается в генерации случайных конфигураций системы и усреднении физических величин. Варианты:
Молекулярная динамика (MD). Метод моделирования движения атомов под действием сил, получаемых из потенциалов межатомного взаимодействия или из квантовомеханических расчётов (ab initio MD). Позволяет изучать процессы диффузии, фазовые переходы, теплопроводность и механические свойства материалов.
Методы ускоренной динамики. Используются для исследования медленных процессов, таких как зарождение дефектов или диффузия примесей. Примеры — метод метадинамики, методы редких событий, алгоритмы увеличения временного масштаба.
Функции Грина являются универсальным инструментом для описания многочастичных систем. Их численное вычисление позволяет анализировать спектральные функции, корреляции и динамические свойства.
Рассчёт с использованием матричных функций Грина. Применяется для анализа электронной структуры, особенно в системах с сильными корреляциями.
Диаграммные методы. Вычисления выполняются в рамках теории возмущений с использованием диаграмм Фейнмана. Современные алгоритмы включают автоматическую генерацию и суммирование диаграмм, что позволяет исследовать системы вблизи фазовых переходов.
Методы квантовых решёток (DMFT). Позволяют свести задачу сильно коррелированной решётки к эффективной локальной задаче, которая решается при помощи квантовых методов Монте-Карло или точной диагонализации. DMFT стала основным инструментом в физике сильно коррелированных электронных систем.
Методы плотностной матрицы и тензорных сетей. Для одномерных и квазидвумерных систем эффективным является метод DMRG (Density Matrix Renormalization Group). Он позволяет точно рассчитывать основные состояния и низкоэнергетические возбуждения. Обобщение этих идей приводит к использованию тензорных сетей (MPS, PEPS, MERA) для описания многочастичных квантовых систем с контролируемой аппроксимацией.
Машинное обучение и искусственный интеллект. Современные алгоритмы активно используются для построения межатомных потенциалов, ускорения расчётов зонной структуры и распознавания фазовых переходов. Нейросетевые модели позволяют эффективно интерполировать результаты ab initio расчётов для больших систем.
Гибридные методы. Сочетание квантовых и классических подходов (например, QM/MM — квантово-механическое/молекулярно-механическое моделирование) позволяет одновременно учитывать точное описание электронной подсистемы и большое число атомов, взаимодействующих в системе.
Численные методы для многочастичных систем лежат в основе современной физики и материаловедения. Они применяются для:
Эффективность методов определяется балансом между точностью и вычислительной затратностью. Современные вычислительные ресурсы и развитие параллельных алгоритмов делают возможным исследование систем с числом атомов, превышающим миллионы, а также моделирование процессов на временных масштабах, близких к реальным экспериментам.